VII. Les quatre points confondus. — Us sont nécessairement

(l) Le cas où les points de contact sont imaginaires ne diffère pas, comme apparence, du cas III. On le distingue par le9 pôles doubles.

5oa QHAPITBE XXXII.

confondus en un point réel, où les coniques 2 sont dites surosculatriees. Toutes les sécantes communes sont confondues avec la tangente en ce point. La racine )v,==X2=X3 est triple. Les coniques S|, 22, S3 se confondent en une droite double, qui est la tangente ci-dessus et dont tous les points sont, par suite, des pôles doubles.

Ce cas est la limite du précédent, quand cl tend vers A. Il a même apparence que le cas IV; il en diffère par ce fait, que tout point de la tangente est un pôle double, tandis que dans le cas W , un seul point de la tangente jouit de cette propriété.

i86. Nous avons maintenant terminé notre discussion. Si 1 on examine ses conclusions relativement aux couples de sécantes communes, on voit qu'elles diffèrent toujours d'un cas a l'autre. Elles peuvent donc servir à caractériser les diverses configurations que peut présente]- l'intersection. En particulier, elles donnent un moyen commode pour écrire ou reconnaître que deux coniques sont tangentes, bitangentes, osculatrices ou surosculatrices.

Dans tout ce qui précède, nous n'avons fait intervenir, nulle part, la droite de L'infini. Nos conclusions sont absolument générales; elles revêtent seulement certaines formes particulière-, que nous Laissons au lecteur le soin d'examiner en détail, quand on suppose que certains points ou droites'sonl à l'infini.

i87. Problème corrélatif. Le problème corrélatif esl La

recherche des quatre tangentes communes à deux coniques. Il peut être traité d'une manière entièrement analogue. Les équations (1) sont alors des équations tangentielles et l'équation représente les coniques S du faisceau tangentiel (S, S') in" ,vi08i, c'est-à-dire les coniques tangentes aux quatre tangentes communes cherchées. L'équation en X détermine Les trois coniques dégénérées du faisceau : E(, ÏL.. ï:>. La conique ï,, par exemple, se décompose en deux points M,. \ll? appelés ombilics. Les tangente- issues de chacun d'eux à toutes le- coniques S sont Les mêmes; de sorte que, lorsque l'on connaît un couple d'ombilics, il suffit de mener, par ces deux point-, les tangentes à une conique ï quelconque pour avoir les tangentes communes cherchées.

La droite M, M', a même pôle par rapport à toute- Les coniques ï: c'est une polaire double. Il v a donc trois polaires doubles, dont les

INTERSECTION DES CONIQIES KT QUADRIQUES. 5ûl

pôles sont des pôles doubles. Ceux-ci ne sauraient différer de ceux qui ont été obtenus au moyen des sécantes communes (n° 484). Gela donne lieu, dans le cas où les quatre points d'intersection et les quatre tangentes communes sont réels, à la figure 5o. On peut aussi

Fis;. 5o.

en conclure que, lorsque l'on connaît une racine de l'équation en À ponctuelle, <»n en connaît une de l'équation en a tangentielle et vice versa (*) ; ou bien encore que si Ton connaît les points communs à deux coniques, on peut trouver leurs tangentes communes par des résolutions d'équations du second degré et vice v -rsn .

On pourrait reprendre, au point de vue tangentiel, toute la discussion du n" 48o. Contentons-nous de faire les observations suivantes :

Lorsque les coniques sont tangentes en A, la tangente T au point de contact est une tangente commune comptant pour deux. Les deux autres tangentes communes sont distinctes (réelles ou imaginaires conjuguées ) ; elles se coupent au point AIt et rencontrent T en AL, M'2. Un couple d'ombilics est (A, Mt); l'autre est (M2, M, >. il est double.

Si les coniques sont bita/igentes, les tangentes aux points de contact sont les seules tangentes communes. In couple d'ombilics est constitué par les points de contact ; l'autre, qui compte pour deux, est constitué par le pôle de la corde de contact considéré

(') On démontre que les /. tangentiels sont inverses des '/. ponctuels (n° 495).

connue point double. Toutes les droites qui passent par ce pôle sont des polaires doubles.

Si les coniques sont osculatrices, la tangente T au point d'osculatiou compte pour trois tangentes communes et il y a une autre tangente commune T . Les trois couples d'ombilics sont confondus et comprennent le point d'osculation et le point de rencontre de T et de T .

Si les coniques sont surosculatrices, la seule tangente commune est la tangente au point de surosculation, lequel point constitue l'unique couple d'ombilics. Toutes les droites passant par ce point suni des polaires doubles.

•488. Intersection de deux quadriques. — L'intersection de deux quadriques S el S' est une courbe du quatrième degré n° 52). On l'appelle biquadratique, pour rappeler son origine i ' ».

On peut reprendre, pour les quadriques, les théories des nos 183 et 184. Si \r- équations (i) sont les équations ponctuelles de mis deux quadriques, l'équation (a) représente le faisceau des quadriques ï qui |iasscni par leur intersection. En annulant le discriminant, on obtient une équation en /. du quatrième degré, qui donne le> quadriques dégénérées du faisceau. Ces quadriques sont, ordinairement, des cônes, <i l'on peut dire qu'en général il y a quatre cônes du second degré </iii s'appuient sur une biquadratique.

Tout point double d'une quadruple S dégénérée a même plan polaire par rapport à toutes les quadriques du faisceau : c'est un pôle double. Dans le cas général, les s,, minets des quatre cônes du faisceau sont, quatre pôles doubles et constituent le tétraèdre conjugué commun. I Cf. t. I. Ghap. \\\ . Exercice résolu n" 5.)

189. Décomposition de l'intersection. L'intersection de deux quadriques peut se décomposer en plusieurs lignes dont la somme des degrés est égale à quatre. L'évaluation de ces degrés nécessite quelques précautions, car il peut arriver qu'une ligne'/ doive être comptée plusieurs fois.

( ' ) Il \ a des courbes du quatrième degré qui ne sont pas des biquadratiques (cf. Chap. \\\M. Exercice pi "pose n 28).

INTERSECTION DES CONIQUES ET QUADBIQUES. 5oî

On le reconnaît de la manière suivante. Coupons par un plan II quelconque. Nous obtenons les coniques C et C. sections de S et S' par ce plan. Ces cnniques ont en commun les points de rencontre de y avec II. Soit A l'un quelconque d'entre eux. Si les coniques G et C ont en ce point un contact d'ordre/? — i, c'est-à-dire si A compte pour p point? dans leur intersection, y doit être comptée /> fois dans l'intersection des deux surfaces. Si q est son degré, elle apporte pq unités dans le degré de l'intersection complète.

Cette proposition est vraie pour l'intersection de deux surfaces algébriques quelconques. Dans le cas qui nous occupe, le produit pq ne peut dépasser \. Donc, p ne peut dépasser l'unité que si q est égal à i ou à i: autrement dit, si la courbe y doit être comptée plus d'une fois, elle ne peut être qu'une droite ou une conique. En outre, si elle est une conique, elle ne peut être comptée que deux fois. Une droite peut être comptée trois ou quatre fois; mais, on peut démontrer que les deux quadriques sont alors des cônes de même sommet et dont les bases sont osculatrices ou surosculatrices.

Nous écarterons, d'une manière générale, l'intersection de deux cônes de même sommet, qui se ramène, évidemment, à l'intersection de deux coniques. Dans ces condition-, si la biquadratique se décompose, elle ne peut comprendre que des lignes simples et des lignes doubles, celles-ci étant des droites ou une conique, le long desquelles les deux surfaces sont tangentes.

Théorème. — Si deux quadriques ont une conique Y commune, elles en ont une seconde T', qui constitue, avec la première, leur intersection complète .

En effet, prenons le plan de Y pour plan des xy et soit

l'équation de la conique dans ce plan. Les ternies indépendants de z dans S et dans S' doivent se réduire à f(x, y). Les équations des deux quadriques sont donc de la forme

/'( ;r. ri-îP = o, f(x, y) -H*P' = o,

P et P désignant deux expressions linéaires quelconques. Si on les retranche membre à membre, on obtient une quadrique du faisceau

composée du plan des xy et d'un autre plan P — P'=o. Cetlo quadrique contient toute l'intersection. Celle-ci se compose donc de la conique Y et dune autre conique Y . section de S, par exemple, par le plan (P — P'). c. q. f. d.

"mi j CHAPITRE XXXI I.

490. Poimts doubles de l'intersection. — Si les deux quadriques sont tangentes en un point A, nous savons (n°343) que ce point est point double de l'intersection. Réciproquement, si A est un point double de la biquadratique, de tangentes AT et AT', toutes les surfaces Z du faisceau sont tangentes en ce point au plan TAT'.

Dans le cas de la ligne double y envisagée au numéro précédent, tout point A de v est un point double de l'intersection complète : mais les tangentes AT et AT' sont confondues avec la tangente à y.

Le cône qui a pour sommet un point double A et pour directrice la biquadratique est du second degré (n° 379); c'est un cône du faisceau. Réciproquement, si un cône ï, du faisceau a son sommet A sur l'intersection, ce sommet est un point double. En effet, on peut considérer la biquadratique comme définie par l'intersection de S, avec une autre quadrique S du faisceau. Or, tout plan Iï passant par A coupe -, suivant deux génératrices AG et VG' et ï suivant une conique C passant par A. Les deux droites rencontrent la conique au point A compté deux fois et en deux autres points M et M'. Donc, le plan 11 coupe la biquadratique suivant deux points confondus en \ et suivant les deux points M et M'. Gela prouve bien que \ est un point double.

Il est aisé d'avoir les tangentes en ce point. En effet, si M tend vers V sur l'une des branches, A G tend vers la tangente VT à cette branche. Celle-ci est, d'autre part, dans le plan tangent à ï. Donc, les tangentes en A sont les deux génératrices d intersection du cône -i avec le plan tangent en V aux quadriques S (•■).

Nous savons que si une courbe gauche du quatrième degré a deux points doubles, elle se décompose nécessairement (n° 268. note de la page 2-5). Donc, si deux quadriques sont bitangentes. leur intersection se décompose. Les deux points de contact \ el V . étant des points doubles de l'intersection complète, sont des points communs aux deux lignes de décomposition, lesquelles sont deux coniques se rencontrant en A et A' ou bien la droite VA' et une cubique passant par A et A'.

491. Discussion. -- Nous allons maintenant passer en revue les

(') Cette démonstration est évidemment valable pour l'intersection d'une surface quelconque S avec un cône quelconque S, ayant son sommet sur S.

INTERSECTION DES CONIQUES ET QUADRIQUES. Jo5

diflérents cas qui peuvent se présenter dans l'intersection. Mais, nous ne nous préoccuperons pas, comme au n° 48o, des questions de réalité, car cela compliquerait par trop notre discussion.

I. Biquadratique Y sans point double. — C'est le cas général de l'intersection de deux quadriques non tangentes. On peut démontrer que les quatre cônes du faisceau sont distincts, les quatre pôles doubles formant un véritable tétraèdre conjugué commun.

- 7 oui plan tangent II à l'un de ces cônes S[ est bitangent à Y. En effet, la génératrice G tic contact rencontre une quelconque des quadriques 1 en deux points M et M' qui appartiennent, évidemment, à 1\ D'autre part, T se trouvant sur S1; sa tangente en M, par exemple, est forcément dans le plan tangent II et il en est de même pour la tangente en M'. Le plan n est donc bien bilangent.

Réciproquement, soit un plan II tangent en deux points RI et M'a T. Considérons la qu ad ri que ^| du faisceau qui passe par un point N quelconque (n°50o) de la droite MM'. Elle contient cette droite en entier, parce qu'elle en contient trois points : M, M', N. D'autre part, elle a le même plan tangent en M et M', à savoir le plan II. (/est donc un cône et l'on peut affirmer qu'il n'y a pas d'autres plans bitangents à T que les plans tangents aux cônes du faisceau.

II. Biquadratique V à point double A. — C'est le cas de l'intersection de deux quadriques tangentes en un seul point A.

Il v a un cône S, du faisceau qui a pour sommet A; on démontre qu'il compte pour deux. Les deux autres 23 et S4 sont tangents en A, comme toutes les quadriques 2. Leurs sommets P3 et P-, sont des pôles doubles; ils sont conjugués par rapport à toute quadrique ^ du faisceau, car le plan polaire double de P3, par exemple, doit passer par Pjj, comme on le voit en prenant, pour S, le cône -,r En particulier, P3 et P., sont conjugués par rapport à S,. On en conclut que les droites AP3 et AP-, sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux génératrices d'intersection de S, avec le plan tangent commun P3AP4, c'est-à-dire par rapport aux deux tangentes en A à T.

La courbe T admet deux familles de plans bitangents, qui sont les plans tangents à Z3 et S4.

III. Une cubique Y et une droite D. — On sait (n° 368) que les quadriques S et S' se raccordent en deux points A et B de D. Ces

5o6 CHAPITRE XXXII.

deux points sont des points doubles de l'intersection complète, donc, le* points de rencontre de D et de Y .

Le cône S, de sommet A et de directrice Y est du second degré (n° 379); d'autre part, il contient VB. et, par conséquent, la biquadratique complète. C'est donc un cône du faisceau. On démontre qu'il compte pour deux. Il en est de même pour le cône S2 de sommet B.

Le plan tangent de raccordement en A coupe 2l, suivant D et une autre génératrice AG, qui est la tangente à Y. puisque c'est la seconde tangente au point double V (n° 490).

Il peut arriver que les deux points de raccordement A et B soient confondus. La cubique est alors tangente à D et admet le plan de raccordement Il pour plan oscillateur^ ). Les quatre cônes du faisceau sont confondus avec le cône de sommet A et de directrice T. qui est tangent à II le long de D(«).

IV. Deux coniques Y et Y . - - Soient II et n' leurs plan* et A l'intersection de ces plans. Cette droite A rencontre une quadrique ï en deux points A et B, qui peuvent être obtenus indifféremmentpar l'intersection de A avec F ou Y . puisque ces deux coniques sont les sections de S par II et II'. Il s'ensuit que nos deux coniques se rencontrent aux deux points \. et B (3).

Ces points sont des points doubles de la biquadratique et, par suite, des points de contact de toutes les quadriques du faisceau. Le plan tangent commun en A, par exemple, est le plan des tangentes AT el AT' à T et T.

Les plans II et II' constituent un cône dégénéré du faisceau; la droite A est une ligne de pôles doubles.

11 y a deux autres cônes ï:î et --, dans le faisceau. Ce sont des cônes véritable-. Ils sont tangents en A et B. Leurs sommets P3 et l\, sont des pôles doubles; ils forment un tétraèdre conjugué commun avec deux points I', et l'o quelconque- conjugués harmoniques par rapport à AB.

(') Cf. Chapitre XXVI, Exercice proposé iv 12.

Puisque la tangente AG à r se confond avec D. (3) Cette démonstration nous prouve que deux coniques tracées sur une même quadrique se rencontrent nécessairement en deux points.

INTERSECTION DES CONIQUES E r QUADRIQUES. >"~

Voici maintenant quelques cas particuliers :

a. Les coniques Y et Y sont tangentes. — L'un des cônes Z3 et -4 se confond avec le cùne dégénéré 1 If. Il) et il n'y a plus qu'un seul cône véritable dans le faisceau.

b. La ennique Y se décompose en deux droites distinctes AC, BG. — Les quadriques sont bitangentes aux points A. I!. C. Le seul cône véritable du faisceau a pour sommet C et pour base l\

c. Les deux coniques se décomposent en droites distinctes. — L'intersection est constituée par les quatre côtés d'un quadrilatère gauche. Les quadriques sont tangentes aux quatre sommets A. B, C, D de ce quadrilatère. Les cônes du faisceau sont les couples de plans 1 ACB, ACD 1 et (ABD, CBD . qui comptent chacun pour deux. Les diagonales AC, BD sont des lignes de pôles doubles. On obtient un tétraèdre conjugué commun en prenant deux points quelconques P|. P2 divisant harmoniquement AC et deux autres pointquelconque- I',. P4 divisant harmoniquement BD.

d. Les coniques se décomposent et ont une droite commune D. — L'intersection comprend cette droite D et deux autres droites D' et D"qui s'appuient sur elle. La droite D compte pour deux : c'est donc une génératrice de raccordement 1 n 489). Le seul cône du faisceau est le couple de plans ■ D, D'), (D. D" 1 et les pôles doubles sont les points de D.

Ce cas est la limite du précédent, lorsque deux côtés opposés AB. CD du quadrilatère gauche tendent l'un vers l'autre, C tendant ver- A et D vers B.

e. La conique Y' est une droite double D'; — Le plan II' coupe eliaque quadrique 1 suivant la droite double D'. Donc, toutes ces quadriques sont des cônes tangents à 11' le long de D' et admettant pour base commune la conique Y

f. Les deux coniques sont des droites doubles. — Toutes les quadriques X sont des cônes de même sommet et bitangents.

g. Les deux coniques sont confondues. — Les quadriques sont circonscrites le long; de cette conique double | n° 489 >. Les cônes du faisceau sont le plan II considéré comme plan double et le cône circonscrit le long de Y.

Les pôles doubles sont le sommet Pi de celui-ci et les points de II. Tout triangle P2P3P; conjugué par rapport à T forme avec Pi un tétraèdre conjugué commun.

h. Les deux coniques sont confondues et décomposées en deux droites. — Ces deux droites sont deux génératrices de raccordement. Leur plan 1!.

">oK CIIAPITHi: XXXII.

considéré comme plan double, est le seul cône du faisceau. Tous ses points sont des pôles doubles.

Ce cas est la limite du cas d, lorsque la droite D" tend vers D'.

\\)i. Nous avons épuisé tous les cas possibles.

Nous savons, en effet, que si l'intersection comporte une conique, elle en comporte une autre et rentre dans le cas IV. D'autre part, les cas I, II et III étant écartés, il est impossible que l'intersection ne comprenne pas une conique. Il faudrait, pour cela, qu'elle se décomposât en quatre droites ne se rencontrant pas deux à deux. .Mais, cela est impossible, car. dès que deux quadriqucs ont en commun trois génératrices de même système, elles coïncident (l) (n° iïl k

Si l'on examine attentivement les résultats de la discussion, on découvre aisément des propriétés caractéristiques de ebaque cas. Citons, par exemple, le nombre et la distribution des points de contact. En particulier, rappelons que lorsque deux quadriqucs sont bilangentes, leur intersection se décompose ton /ours: on se trouve dans le cas III ou dans le cas IV, suivant que les deux points de contact sont ou ne sont pas sur une même génératrice.

Voici un corollaire qui est souvent utilisé en Géométrie descriptive :

Théorème. — Si deux quadriques S et S' sont circonscrites à une même troisième S", elles se coupent suivant deux coniques.

Soient, en effet, C et C les coniques de contact. Comme elles sont sur une même quadrique S", elles se rencontrent en deux points A et B. En ces points, les quadriques S et S' sont tangentes, parce qu'elles sont tangentes à S''. Leur intersection se décompose doue en deux coniques passant par A et l> l - ' ■ .

\ oici, au surplus, une démonstration analytique directe. Si (P) et (Q) sont les plans des coniques C et C . les équations de S et S' sont de la forme < n° 507)

S" XP2=o, S"-f-uQ2=o.

(') Pour que notre raisonnement fut complet, il faudrait examiner le cas de deux droites doubles ne se rencontrant pas. En coupant par le plan tangent commun en un point quelconque de l'une d'elles, on voit aisément que les quadriques coïncident encore.

(-) Si A et B appartenaient à une même génératrice, les coniques C et I décomposeraient et auraient en commun la droite AB, qui serait, dés lors, une génératrice de raccordement pour S et S'. On se trouverait dans le cas IV. d: l'énoncé serait toujours valable.

INTERSECTION DES CONIQUES ET QUADRIQLES. 5ûÇ)

En les retranchant membre à membre, on obtient un cône du faisceau décomposé en deux plans :

v/XPzfc/jÂ.Q = o.

L'intersection se décompose donc en deux coniques, dont les plans sont les plans ci-dessus. Remarquons qu'ils forment un faisceau harmonique avec les plans des coniques de contact.

Gomme caractéristiques de l'intersection, on peut aussi considérer les cônes du faisceau. C'est ainsi que, pour que deux quadriqu.es se coupent suivant deux coniques, il faut et il suffit que le faisceau (/d'elles déterminent comprenne un couple de plans. Ceci peut aussi être regardé comme la condition pour qu'elles soient bitangentes, si l'on excepte le cas de la génératrice commune.

De même, pour que deux quadriques soient circonscrites, il faut et il suffit que leur faisceau comprenne un plan double.

493. Problème corrélatif. — Le problème corrélatif est l'étude des plans tangents communs à deux quadriques définies tangentiellement. Ces plans tangents enveloppent une développable A de quatrième classe, qui est circonscrite à S et à S , ainsi qu'à toutes les quadriques X du faisceau tangentiel défini par (2), si les équations (1) sont les équations tangentielles des quadriques proposées.

L'équation en >. détermine les quatre coniques Sj, 22, £3, Z4 du faisceau.

Les plans de ces quatre coniques sont les plans polaires doubles et leurs pùles sont les pôles doubles considérés dans la tbéorie précédente.

Far ebaque point de Sl5 par exemple, on peut mener deux génératrices de A et réciproquement. Cette propriété est, en effet, corrélative de celle des plans bitangents à une biquadratique (*) (n° 491). Les coniques du faisceau sont donc les lignes doubles de la développable.

Si les quadriques S et S' sont tangentes, deux des coniques S se confondent suivant une conique du plan tangent au point de contact.

Si elles sont bitangentes, la développable A se décompose généralement en deux cônes de la seconde classe, dont les sommets constituent une des coniques X. Ces deux cônes, étant circonscrits aux mêmes quadriques, se coupent suivant deux coniques (n° 492), qui sont les deux autres coniques du faisceau.

Si les quadriques S et S' sont circonscrites, les deux cônes se confondent avec le cône circonscrit le long de la conique de contact. Le sommet de ce

(' ) Le plan tangent à un cône du faisceau ponctuel contient deux tangenles à la biquadratique.

JIO CHAPITRE XXXII.

cône, considéré comme point double, est une conique du faisceau. La conique de contact en est une autre.

494. Invariants simultanés de deux coniques ou quadriques. — La théorie de l'équation en À donne lieu à d'intéressantes propriétés d'invariance, dont nous allons dire quelques mots.

Théorème I. — Les racines de l'équation en. /. sont des invariants pour tout changement de coordonnées.

En effet, le discriminant A(A) est simplement multiplié par le carré du module de la substitution (t. I. n" 309 ). Donc, ses racines ne changent pas. ( Cf. t. I, Chap. XXV. Kvercice résolu n" o.)

Théorème II. — Deux coniques (ou quadriques) étant données, les racines de leur équation en A sont déterminées à un facteur près.

En effet, si la conique (ou qtiadriqiie > S est donnée, la forme quadratiques est déterminée à un facteur arbitraire près, quand le système de coordonnées est choisi. Il en est de même pour la forme quadratique S'. Or, l'introduction de ces deux facteurs arbitraires dans S et dans S' ne fait évidemment que multiplier ). par leur rapport. Si l'on combine ceci avec le théorème I. "il obtient le théorème II.

Corollaire. — Toute fonction homogène et de de gré zéro des racines de l'équation en À est entièrement déterminée par la connaissance des deux coniques (ou quadriques). On dit que cette fonction est un invariant simultané des deux courbes (ou surfaces).

De même, toute relation homogène i et de degré quelconque l est invariante.

Du fait qu'elles sont indépendantes du choix des coordonnées, ces fonctions ou relations invariantes ont nécessairement une interprétation géométrique ne faisant intervenir que les deux coniques i ou quadriques i S et S'. Un choix judicieux des coordonnées facilite généralement la recherche de celte interprétation.

Inversement, si. avec un système particulier de coordonnées, on découvre qu'une certaine propriété géométrique s'exprime par une relation homogène entre les racines de l'équation en À, cette relation est valable pour des coordonnées quelconques.

49o. Tout ceci s'applique indifféremment en coordonnées ponctuelles ou tangentïelles. Il existe d'ailleurs un lien très étroit entre les deux points 'le vue, ainsi qu'il ressort du théorème suivant :

Théorème III. — Les A ponctuels sont inverses des À tan gentic Is. Supposons que S et S' soient des formes quadratiques en ./-. r. r. / et dési-

INTERSECTION DES CONIQUES ET QUADRIQUES. jll

gnons par s et s' les formes adjointes i t. I, n° 31 1 >. Appelons Ai À i le discriminant de S -+- ).S' et oi a i le discriminant de s -H as'. Si a annule Ai À i. les quatre équation»

<)t dt

ont une solution non nulle i x: 1 '. z, t |. Soient l u, r. u . ;• > et i u , c'. w1 . r les varialdes adjointes de cette solution par rapport à S et à S'. On a

i <)s i Os'