OS

dS . OS'

. JS'

lx '

' Ox

ày^ ày~ "

dï "

i dS

?. Ox

i OS'

2 'Àr

puis, à cause de 5 .

d'où

puisque la dérivée partielle — est linéaire et homogène. En tenant compte de 11 ' Ou a '

la dernière équation 1 6 l, cette égalité s écrit

Os' , Os à s 1 Os'

Ou ' Ou Ou ' A Ou

« <n a les égalités analogues pour c, u», /', et cela prouve que - annule 0 /. .

Si l'on n'astreint pas s et s' à être exactement les formes adjointes de S et S', mais seulement des formes proportionnelles, on peut seulement dire que les '/. ponctue/s sont proportionnels aux inverses des /. tangentiels.

496. Nous allons retrouver ce résultat en calculant explicitement les coeflicients de Ai X 1 et de Si a l, mais dans le cas des coniques seulement. Soient

S = \lxi — A ly1 — A ; s2 — 2 13 ! yz -+- 2 F32 zx — 2 B3xy,

s = «, «2 -1- ai v2 ■+- a3 ic-— ib^vw 4- 2 Ao wu — 2 63 *<t>

et les notations analogues affectées d'accents pour S et 5'. Désignons, d'autre part, par «1, y.2, . ... $3 les mineurs du discriminant A de S. On a l t. I. n° 311 l

Cela posé, développons A' X 1 suivant les puiss; n es de À ! 8) A '/. ) = A-4-6X-4- b'A2-r- A'À\

5l-2 CHAPITRE XXXII.

A et A' sont respectivement les discriminants de S et île S'. Quant à 6 et fc»', si on les ordonne respectivement par rapport aux A'. IV et par rapport aux A, B. on trouve

( 6 = \\ a. — A'2a, — A;a;i -f- aB', .i , -i- 2 B ,,,:;,> — >\i, ,: , | 9'= Ai'^ + Ajai + Aiïi+'iBi ^-+2Bî^ + 2B,^,

ou, en tenant compte de 7 .

( e=ii\,rt,-t- Aj a, + A'3 <?:; — 2 B, 6, -+- 2 B'2 6, — 2 B; b3 I, / 6' = A'i Aj a\ — A, a., — A3 a3 - ±V>i 6', -h 2 B2 b'., — 2B363 .

Si maintenant nous posons I 1 1 , 3 (X ) = 8 -+- 6X -F- 0' /.- -1- 0' X3,

nous avons 0 et 0' par des formules analogues aux formules l 10 1. En le> écrivant, on aperçoit-immédiatement les identités

d'où l'on déduit, en -e rappelant que 0 = — et 0 = — '

A A Cela nous redonne bien le théorème III.

497. Coniques iiarmoniquement inscrites 01 circonscrites. — Parmi les

relations homogènes que l'on peut établir entre les racines de l'équation en À, deux des plus simples sont les suivantes :

1 1 î 1 Ai -f- h, — a3 = o, — -—-+---= o.

Aj /., /,:

c'est-à-dire, avec les notations du numéro précédent.

Cherchons à les interpréter géométriquement. Prenons, par exemple,

INTEBSEGTION DES CONIQUES ET QUADR1QUES. 3 1 3

l tilisons la seconde formule i 9 1 et essayons de la simplifier le plus possible, en choisissantconvenablement le triangle de référence 1 n° 494). Nous pouvons d'abord annuler [s',, ,V.,, p'3 1 et en même temps B',, B'2, B3 1 en prenant ce triangle conjugué par rapport à S' < n"s 439 et 443). Nous pouvons ensuite annuler Aj et A.2, en prenant les sommets Pi(i, 0,01 et P»(o, 1, 01 sur S. l'our réaliser simultanément toutes ces conditions, nous prenons Pj arbitrairement sur S, puis P2 à i'intersection de S avec la polaire de Pj par rapport à S', et enfin P3 au pôle de PiPo par rapport à S'. L'équation (16) se réduit alors à

Si nous nous bornons à considérer le cas où S' n'est pas dégénérée, le produit A', \'., est différent de zéro et la condition 1 16 i se réduit finalement à

Son interprétation géométrique est évidente; elle signifie que P3 est sur S, c'est-à-dire que le triangle de référence est inscrit dans cette conique. Ce résultat est d'ailleurs valable, quelle que soit la position de P, sur S. Enfin, en éebangeant les rôles des deux coniques, on interprète de même 0 = o.Nous pouvons finalement énoncer le théorème suivant :

Théorème I. — La condition t)'= o est la condition nécessaire et suffisante pou?' que l'on puisse inscrire dans S des triangles conjugués à S'. S'il existe un tel triangle, il en existe une infinité. La conique S est alors dite harmonique ment circonscrite à S'. La condition 0 = o est, de même, la condition pour que S' soit harmoniquement circonscrite à S.

En appliquant le principe de dualité et se rappelant l'équivalence des conditions 1 14 1 et 1 i5 l, on a la proposition corrélative :

Théorème II. — La condition O'=o est la condition nécessaire et suffisante pour que l'on /nasse circonscrite à S des triangles conjugués à S'. S'il existe un tel triangle, il en existe une infinité. La conique S est dite harmoniquement inscrite dans S', laquelle est harmoniquement circonscrite éi S, au sens du théorème précédent. Enfin, la condition 0 = o est la condition pour que S' scit harmoniquement inscrite dans S.

Il resterait à examiner ce que signifient les conditions précédentes lorsque l'une ou l'autre des coniques S et S' dégénère. Nous laissons au lecteur le soin d'établir (*) que, lorsque S est, par exemple, harmoniquement circonscrite

) Il suffit d'appliquer les formules (9) ou (10) ou les formules corrélatives, en prenant, dans chaque cas particulier, les éléments de dégénérescence comme entés ou sommets du triangle de référence. On peut aussi voir ce que deviennent les iriangles inscrits dans S et conjugués à S' ou circonscrits à S' et conjugués à S. Haâg. — Cours. II. 33

il i CHAPITRE XXXI I.

à S', les cas de dégénérescence s'interprètent de la manière suivante :

2 droites distinctes. Ces deux droites sont conjuguées par

S rapport à S' ;

„ ,, . , ' i droite double Cette droite est tangente à S :

o dégénère en

2 points distincts... La droite qui les joint est tangente

i point double Aucune condition.

2 points distincts . . Ces deux points sont conjugués par rapport à S ; S' dégénère en ' i point double..... Ce point est sur S ;

2 droites distinctes. Leur point de rencontre est sur S; i droite double Aucune condition.

•498. Triangles de Poncelkt. — Un problème analogue à ceux qui viennent

d'être traités est le suivant :

Chercher la condition pour qu'il existe un triangle inscrit dans > et

circonscrit à S'.

Choisissons le triangle de référence de la manière suivante : P3 est un point quelconque de S et Pl5 P2 sont les points de rencontre avec S des tangentes à S' menées par P:{ . Le triangle PtP^P:* est inscrit dan* S. Nous allons chercher la condition pour qu'il soit circonscrit à S' et nous essaierons de mettre cette condition sous forme d'une relation homogène entre les racines de l'équation en X.

D'après le choix du triangle de référence, nous a\ons

D'autre part, la condition nécessaire et suffisante pour que Pj Pj soit tangent

à S' est

Nous avons maintenant, d'après 1 10 ) et 17 . tg 1 0'= ■> : A'i Biô', - BoA; ■-'.'. h .

puis, d'après ( 9 ) et 1 1 - .

0= — A'tBï— \2\Vj - A3l-}â ^2, \\x B2B, B'jB3Bi-f B'3B,BS .

ou, en exprimant les coefficients A'. B' en fonction des coefficients tangentiels a '. h'.

(20) t) = a'[Bj6i2-, v>ih::- - -\\]/>r^ .i;,i;;a,// .i^b,/-,^

-t- 2 B, Bsl I> b — 11 . 6'j)]

(îl)