INTERSECTION DES CONIQUES ET QUADIUQUES

En comparant i tg i et i 20 1, on aperçoit de suite l'identité 0 8'2

5?=.^-2B1Bt6;a'1

Si l'on écarte les cas de dégénérescence, on en conclut que la condition 1 18 j équivaut à la suivante :

relation homogène, donc invariante.

Ce résultat subsiste, quelle que soit la position de P3 sur S et quel que soit le système de coordonnées.

Nous avons finalement la proposition suivante :

THÉORÈME. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe des triangles inscrits dans S et circonscrits à S' est la condition 1 22 . S'il existe un tel triangle, il en existe une infinité.

Ces triangles portent le nom de triangles de Poncelet. Il existe un théorème analogue pour des polygones d'un nombre quelconque de cotés, inscrits dans S et circonscrits à S', et qui portent le nom de polygones de Poncelet. Cf. Ghap. XXXVII, Exercice proposé n" 18. 1

DETERMINATION DES CONIQUES ET QUADRIQUES ; ÉQUATIONS GÉNÉRALES FAISCEAUX ET RÉSEAUX.

•199. Détermination dfs coniques et quadp.iques. Pour déterminer une conique dans vm plan ou une quadrique dans l'espace, il suffit de connaître les coefficients de son équation ponctuelle ou tangentielle, ou plutôt les rapports de ces coefficients à l'un d'entre eux. Or, ces coefficients sont au nombre de six pour une conique, el de dix pour une quadrique. Donc, une conique, dans .son plan i ' (, dépend de cinq paramètres; une quadrique, dans V espace, dépend de neuf paramètres.

Pour déterminer une conique (ou une quadrique), il faul donc l'assujettir à cinq i ou neuf) conditions simples indépendantes, une condition étant dite simple, si elle s'exprime par une seule relation i ntre les coefficienl s.

Nous appellerons condition ponctuelle (ou tangentielle) une condition qui s'exprime par une relation linéaire entre les coefficients ponctuels (ou tangentiels). ! ne condition tangentielle esl du second legré, en Géométrie plane, el du troisième degré, dans l'espace, par rapporl aux coefficients ponctuels, el vice versa. Mêla résulte, en . Tel. île- propriétés des coefficients des formes adjointes i n° iil >.

Une conique I ou quadrique) est déterminée d' une manière unique par cinq (ou neuf ) conditions ponctuelles, ou par cinq (ou neuf ) conditions langentielles ind<:p<n<!<inies. Car, on peut calculer les coefficients ponctuels ou les coefficients tangentiels en résolvant un système linéaire. En particulier, on a le théorème sui- \ . i i : I :

héorèaie. - Par cinq points du plan i ou neuj points de

('•) Une coniqi e, dans l'espace, dépend de huit paramètres; les trois coordonnées de son plan s'ajoutent, en effet. aux cinq paramètres ci-di -

DÉTERMINATION DES CONIQUES ET QUADRIQUES; ÉQ1 VTIONS GÉNÉRALES. H,

l'espace), on peut faire passer une conique (ou une quadrique) et Von n'en peut faire passer qu'une.

Corrélativement, il existe une seule conique (ou quadrique) tangente à cinq droites du pian {ou neuf pians de V espace ).

Car, en exprimant, par exemple, qu'une quadrique passe par un poinl donné, on écril une condition ponctuelle.

Il faut, toutefois, prendre garde que les conditions résultant de l'ensemble des points (ou plans) donnés soienl indépendantes. Si elles ne le sonl piis, il \ ;i une infinité de solutions.

Pour reconnaître cette indépendance, on peul vérifier <|n<' le déterminant du système linéaire « 1 < > 1 1 1 dépendenl les coefficients n'esl pas nul. Mais cela est compliqué, à cause de l'ordre élevé <l<' ce déterminant* <)n peul reconnaître géométriquement l'indétermination à ce fait que les cinq | ou neuf) points donnés fonl partie de i intersection de deux coniques (ou quadriques). En Géométrie plane, rien n esl plus simple. Nous savons, en effet, que si l'intersection de deux coniques comprend plus de quatre points, elle en comprend une infinité : l<s deux coniques se décomposent el mit une droite commune, en dehors de laquelle elles n'onl qu'un seul point d'intersection.

Si doue cinq points appartiennenl à deux coniques différentes, quatre au moins s<mi en li^ue droite, et, si l'on veul être certain de la généralité du théorème ci-dessus, il suffi! d'ajouter, dans son énoncé, que parmi les ùinq points donnés, il n'y en a pas quatre en ligne droite (ou que, parmi les cinq droites données, il n \ en a pas quai re qui concourenl |.

Dans l'espace, il > ;i i; i i de reconnaître si Les neuf points donnes sont sur une même biquadratique. La question esl beaucoup plus difficile; nous la Lisserons <le côté. *

500. Passons en revue quelques autres conditions, qui se présentent courammenl dans les applications.

Donner deux puants conjugués esl une condition ponctuelle i n" &32); donner deux droites conjuguées, en Géométrie plane, ou deux plans conjugués dans l'espace est une condition tangentielle n" Ï43). H en résulte qu'un pâle et sa polit i re (ou son plan polaire i équivalenl indifféremment à deux (ou trois) conditions ponctuelles ou à deux | ou trois i conditions tangentielles.

Ceci s'applique, en particulier, quand on donne un point et la

tangente (ou le plan langeai) en ce poinl '),ou bien un centre t - 1. ou bien an />/«/? principal i :i i i a#e, en Géométrie plane >.

Donnci- deux 'huiles conjuguées par rapport à une quadrique équivaut à quatre conditions ponctuelles ou tangentielles. Tl suffit, en effet, d'exprimer que deux points dé la première droite sont conjugués de deux points de la seconde ou que deux plans passant par la première sont conjugués de deux plans passant par la seconde. Ceci s applique, en particulier, quand on donne un axe. qui doit être conjugué de la droite de l'infini des plans perpendiculair< 5.

Donner une courbe de degré p. par laquelle doit passer une quadrique, équivaut, en général, à >.p-\-i conditions ponctuelles, obtenues en écrivant que la courbe a ip — 1 points sur la surface. Par exemple, une droite, une conique, une cubique valent respectivement 3, 5, - conditions. I ne quartique équivaul généralement à 9 conditions et détermine la quadrique; toutefois, une biquadratique (n° 188) équivaut seulement à 8 conditions puisqu'elle appartient à tout un faisceau.

oOl. Appelons élément remarquable tout élément qui est déterminé quand la conique 1 ou quadrique) l'est. Si cet élément, considéré comme libre dans le plan 1 ou l'espace 1, dépend de p paramètr sa donnée équivaut à p conditions -impie-.

Par exemple, en Géométrie plane, un point ou nue droite remarquables valent deux condition-: un cercle en vaut trois.

Dans l'espace, un point ou un plan remarquables valent trois conditions; une droite ou une sphère en valent quatre; i\ne conique en vaut huit.

Citons, comme points remarquables, le centre, un sommet 1 ' », un ombilic 1 '), un foyers ') (pour une conique seulement : comme

(' i On peut dirr aussi que cela revient à donner deux ou trois) points nu deux (ou trois) tangentes (ou plan- tangents) infiniment voisins.

(2) Pôle de la droite (ou du pi; le l'infini.

Le point a l'infini dans la direction perpendiculaire doil être son pôle.

(4) four exprimer qu'un point M est sommet ou ombilic, on écrit qu'il esl sur la quadrique, puis que le plan tangent en ce point est perpendiculaire au diamètre conjugué ou qu'il est cyclique.

(5) Un lover équivaut à deux tangentes, à savoir les isotropes qui en sont issues (n° 51