DETERMINATION DES CONIQUES ET QUADRIQUES; EQUATIONS GENERALES. HO

droites remarquables (l'une conique, une asymptote, un axe, une tangenteraù sommet; comme plans remarquables d'une quadrique, an plan principal, un plan tangent au sommet; comme coniques remarquables, une section principale, une focale.

502. Remarque. Lorsqu'on donne simultanément plusieurs conditions composées, il n'est pas toujours correct, dans le décompte des conditions simples équivalentes, d'additionner purement et simplement les conditions simples équivalentes à chaque condition composée envisagée séparément. 11 peut arriver, en effet, qu'une des conditions données soit entraînée, en totalité ou en partie, par l'ensemble des autres.

Par exemple, un a\e d'une quadrique et un sommet de cet axe ne valent pas j — f— 3 = j conditions, mais seulement 5. car le sommet, étant déjà sur l'axe, il ne reste plus qu'à exprimer qu'il est sur la quadrique, ce qui fait seulement une condition et non trois, comme s'il s'agissait d'un sommet isolé.

De même, si l'on se donne deux génératrices rectili gnesT) et D , cela fait 6 conditions si les génératrices sont du même système, mais seulement 5 si elles sont de systèmes différents, car. dans ce cas, elles se rencontrent en un point M et, quand on a écrit que D est sur la surface, il suffit d'écrire que D' y a deux points, puisque M s'y trouve déjà, comme appartenant à 1).

On verrait de même que trois génératrices donnent () conditions ei déterminent la quadrique. si elles sont de même sv -terne i cf. n" HT. théorème VI); mais elles ne donnent que ~ conditions dans l'hypothèse contraire.

Le lecteur pourra vérifier aussi que chacun des systèmes de lignes qui constituent, une biquadratique dans les cas 111 et W du n° 491 équh aul a X conditions.

503. Familles de comqi es oi de quadriques; équations <;éxérales. — Supposons que l'on impose à une conique ton quadrique i ."> — p i ou <) // i conditions simples indépendantes. Il y a une infinilé de coniques (ou quadriques) satisfaisant à ces conditions. Elles dépendent de /> paramètres arbitraires et constituent ce que l'on appelle une famille 0 j> paramètres.

Pour trouver leur équation générale, on part d'une conique (ou

quadrique) quelconque et l'on écrit les conditions imposées. ( )n tire ensuite de ces conditions tous les coefficients en fonction homogène de /? — }— i d'entre eux.

Par exemple, l'équation générale des qvadriques circonscrites au tétraèdre de référence s'obtient en écrivant qu'elle est vérifiée quand on annule toutes les coordonnées, sauf une. On trouve ainsi que les coefficients des carrés doivent être nuls, ce qui donne, pour l'équation cherchée.

X| XV — 1-1 Y ^ — ) 3 ZX -f- /.; Xt -r- '/.., Yt ■+■ X6 Z( = O,

les À étant tous arbitraires.

En changeant ce, y, z, t en u, r. w. r. <ui a de même l'équation générale des quadriques inscrites dans le tétraèdre de référence.

En annulant t ou /•. on a les équations analogues en Géométrie plane.

Si le tétraèdre est défini par le» équations I' = o, Q = o, l! o, S n de ses faces ou de ses' sommets, il suffit de remplacer, dans l'équation ci-dessus. ./■. i . z, t par P, <>. \\. S. Cela revient à faire un changement de coordonnées.

La méthode générale indiquée ci-dessus donne souvent lieu à des calculs compliqués, qu'il est quelquefois possible d'éviter par] emploi de procédés plus élégants. Dans certains cas même, on peut écrire «In premier coup l'équation demandée, comme nous allons en voir un exemple au numéro suivant.

504. Faisceai i poni iiij.s. Soient les deux coniques (ou quadriques i S et S , définies par les équations ponctuelles

Cherchons l'équation générale des coniques {ou quadriques passant par leur intersection i cf. n" 76, 90, 171, 186 . Je <li^ que cet te équation est

/. désignant un paramètre arbitraire.

En effet, d'abord nous avons <léj;ï remarqué i n ÏK) > que toutes les coniques (ou quadriques) S définies par cette équation passent bien par l'interseetion <lc S et <l<' S'.

Réciproquement, »<hi S0 une conique (ou quadri j 1 1 < ■ quelconque contenant cette intersection^. Prenons-y un point M0 arbitraire en

DÉTERMINATION DES CONIQUES. ET QUADRIQUES; ÉQUATIONS GÉNÉRALES. J .'. I

dehors de cette dernière et déterminons /. par la condition que X passe par M0. Nous avons l'équation du premier degré

I 3) S0-f-XS'0 = o,

qui ne saurait être indéterminée, car. d'après l'hypothèse faite sur le choix de M0, S0 et S0 ne peinent être tous deux nuls. Nous obtenons ainsi une valeur unique pour / | qui peut être infinie si S'0 = o), et. par suite, une seule conique (ou quadrique i S passant par M0. Je di» que cette conique i ou quadrique ) coïncide avec S0.

En effet, s'il s'agit de coniques, il suffit de remarquer quelles ont cinq points communs : M0 et les quatre points d'intersection a. b. c d de S et de S' et Ton est ramené au théorème du n" 1-99 I ' I. S'il -"a^it de quadriques, tout plan 17 passant par M0 coupe S et S0suivant deux coniques avant cinq points communs : M0 el les quatre points de rencontre de II avec la biquadratique F suivant laquelle se coupent S et S': donc, ces deux coniques coïncident et. par suite, aussi les quadriques, puisque ceci a lieu quel que soil II.

Finalement, l'équation (2) ne représente que des coniques (ou quadriques 1 satisfaisant à la condition imposée et elle les représente toutes. C'est donc bien l'équation générale cherchée.

L'ensemble des coniques (ou quadriques) ï est appelé faisceau ponctuel. Les coniques (ou quadriques) S et S' sont les coniques 1 ou quadriques) de hase. Elles peuvent évidemment être remplacé is par deux coniques | ou quadriques 1 quelconques du faisceau.

Les joint-, a. h. c, d (ou la biquadratique Y) sont appelés les points de hase 1 ou la biquadratique de base 1.

0O0. Propriétés générales des faisceaux pomctuels. — D'après la démonstration du numéro précédent, nous pouvons déjà énoncer la proposition suivante :

Théorème I. — Par tout point extérieur à la base, passe une conique (ou quadrique) du faisceau et une seule.

(') Ce théorème s'applique, car, des quatre derniers points, trois ae sauraient être en ligne droite, si l'on écarte le cas où S et S' auraient une droite commune. Il c-t ■ ï ailleurs facile de voir que, même dans ce cas, notre raisonnement est encore valable: .Mais ce cas n'a pas grand intérêt.

On en déduit le théorème suiyanl :

Théorème II ou de Desargues. - Les coniques (ou quadriques d'un faisceau ponctuel déterminent une involution sur toute droite fixe du plan (ou de l'espace ..

Nous entendons par laque les points de rencontre TM <i M' de la droite D avec une même conique (ou quadrique) ï décrivenl deux divisions homographiques en involution i n" i ':')<. En effet, la relation entre M el M esl évidemment algébrique. Elle esl biunivoque, car, si l'on se donne M. par exemple, - esl déterminée d'après le théorème I et, par suite, aussi M . second point de rencontre de S avec D. Enfin, la correspondance esl réciproque, car si M vienl en M . ï ne change pas el M vienl en M.

Les points \| el M se confondenl lorsque ï esl tangente à I) el dans ce cas seulemenl . I )onc

Théorème III. Il y a deux coniques (ou quadriques) du

faisceau tangentes à la droite I) : leurs points de contact sont les points doubles de Vinvolution de Desargues; ils sont conjugu 's par rapport à tout le faisceau.

En particulier, tout faisceau ponctuel de coniques comprend deux paraboles, comme on le voit en prenanl I > à l'infini. Leurs directions asymptotiques sonl des directions conjuguées par rapport à chaque conique du faisceau.

Théorème In. - Les quadriques 1 d'un faisceau ponctuel® découpent sur un /dan quelconque II un faisceau ponctuel a de coniques t : il y a trois quadriques ï tangentes à II ; leurs points de contact sont les //ides doubles du faisceau œ : ils forment un triangle conjugué par rapport à toutes 1rs quadriques -.

Toutes ces propriétés sonl à peu près évidentes. Les points de base du faisceau '^ SOllI les points de rencontre de II a\ee la biquadratique de hase de <!>- La quadrique - est tangente à II si sa section c se décompose en deux droites el réciproquement. Or, il \ a trois coniques dégénérées dans le faisceau o (n° 18 l i. Leurs points doubles, qui son! les points dé contael des quadriques tangentes, sonl les pôles doubles i\i\ faisceau de coniques; ils forment un triangle conjugué