DÉTERMINATION DES CONIQUES ET QUADRIQUES ; ÉQUATIONS GÉNÉRALES. 5 ! I

par rapporï à toutes Les coniques r | n'J -48i). donc |>;ir rapport ;'s toutes les quadriques 2 i n" 438 I.

S: ! on prend pour FI le plan de l'infini, on voil que tout faisceau ponctuel de quadriques comprend trois paraboloïdes, dont les directions d'axes forment un trièdre de directions conjuguées i n° R)i) i p<>ur chaque quadrique du faisceau.

Théorème \. — Etant donnés deux points quelconques P et P. il y a. en général, une seule conique (ou quadrique) du faisceau les admettant comme points conjugués. S'il y en a plus d'une, les deux points sont conjugués par rapport à tout le faisceau .

En eflï-t. soient j> et p' les fermes polaires de S et de S' par rapport à ces deux points. La condition pour qu'ils soient conjugués par rapport a 1 est

Elle e?t du premier degré en /. : elle admet donc une seule racine, sauf -i = p' — o, auquel cas elle e-t vérifiée quel que soit a.

Remarque. — Dans ce dernier cas P et P' sont les point- doubles de l'involuiion de Desargues de la droite qui les joint.

THÉORÈME VI. — Dans tout faisceau ponctue/ de coniques, il y a une hyperbole équilatère i n 529 I ; s'il y en a plus d'une, il y en a une infinité.

Gela ré-iilte du théorème V, si l'on prend P et I' aux points cycliques.

THÉORÈME VII. — Toute hyperbole cquilat'ere 2l circonscrite à un triang-le ABC passe par son orthocentre D.

En effet, considérons le faisceau <!• qui admet pour coniques de hase deux quelconques de ces hyperboles. Il est tout entier composé d'hyperboles équilatères. Trois de ses point- île hase sont A. i;. C : soit D' le quatrième. Les roupies de droites i VIL CD'), i AL. BD . BG, AD') sont rectangulaires. Donc, D' est l'orthocentre D c. Q. i". n.

Théorème N III. — Les polaires (ou plans polaires) d'un point fixe P par rapport aux coniques | ou quadriques) d'un faisceau ponctuel passent par un point ou droite fixe.

Cela résulte de ce que l'équation de cette polaire (ou plan polaire) est

\"iis démontrons, du même coup, que les trois hauteurs du triangle sont :oncourantes.

"> > j CHAPITRE XXXIII.

linéaire par rapport à À {cf. démonstration du théorème Y; on peut aussi déduire la proposition actuelle du théorème V lui-même).

Dans le cas particulier où I' est un pôle double, sa polaire i ou plan polaire l reste fi\e quel que soit A.

En Géométrie plane, à tout point P du plan correspond, par le théorème VIII. un point P', point de concours de toutes les polaires de P. Les deux point- sont conjugués par rapport à toutes les coniques 2; leur correspondance est donc symétrique. Nous dirons que ce sont deux points associés cf. n° 41o).

Théorème IX. — Si le point P décrit une droite A, son associé P' décrit une conique Y.

En effet, définissons P' par l'intersection des polaires de P par rapport à S et S'. Quand P décrit A, ces polaires passent respectivement par deux pointfixes, qui sont les pôles Q et Q' de A par rapport à S et S'.. D'autre part, elles sont manifestement en correspondance homographique. Leur point de rencontre décrit'donc une conique Y, qui passe par Q et Q'.

Si l'on observe maintenant que S et S' sont deux coniques quelconques du faisceau, on en conclut :

Théorème X. — La conique Y est aussi le lieu des pôles de A par rapport

aux coniques -.

Tout point d'une polaire double A! est associé «lu pôle double Pj de cette ;i daire. Donc, si P vient à l'intersection de A avec A,. P' vient en P^ D'où il résulte que la conique Y passe par les /"des doubles. Elle est circonscrite au triangle conjugué commun.

Prenons maintenant P à l'intersection de A avec une sécante commune ah. Le point P' correspondant est conjugué harmonique de P par rapport à ab. On obtient, de la sorte, six points particuliers de la conique Y, qui, ajoutés aux trois pôles doubles, nous donnent, en tout, neuf points.

Théorème XJ- — Le lieu des centres d'un faisceau ponctuel de coniques est une conique, appelée conique des neuf points.

Il suffit de prendre la droite de l'infini pour droite A.

Les neuf points sont alors les trois pôles doubles et les milieux des -ix segments obtenus en associant les points île base deux à deux.

Les directions asymptotiques de cette conique sont celles des deux paraboles du faisceau.

Dans le cas particulier du faisceau d'hyperboles équilatères, ces directions asymptotiques sont isotrope-, puisque les points doubles de l'involution de Desargues sur la droite de l'infini sont les points cycliques. Donc, la conique est un cercle. C'est le cercle des mut' points du triangle formé par trois

DETERMINATION DES CONIQUES ET QUADRIQUES; EQUATIONS GENERALES. V> i

quelconques des points de base. On obtient donc, en passant, une propriété de ce cercle, bien connu en Géométrie élémentaire :

Théorème XII. — Le cercle des neuf points d'an triangle est le lieu des centres des hyperboles étjuilatères circonscrites à ce triangle.

506. Dans un faisceau donné, il n existe pas de cercle, en général. Pour qu'il y en ail un, il faul el il suffit que les points cycliques -nient deux points homologues de l'involution de Desargues île la droite de l'infini. Il équivaut de dire que les point- doubles de cette involution doivent être à l'infini dans deux directions rectangulaires. Gomme ces points doubles sont conjugués par rapport à toute- Les coniques du faisceau, ce sont les points à l'infini de leur- directions principales | n° i70 I, lesquelles sonl doue fixes.

Réciproquement, si deux coniques du faisceau oui mêmes directions principales, les point- à 1 infini de ces directions sont les points doubles de 1 involution de Desargues, qui admet, par suite, les points cycliques comme points homologues. Donc,

Théorème XIII. — Pour qu'un faisceau ponctuel contienne un

cercle, il faut et il sujjlt que les coniques de base aient leurs axes parallèles, auquel cas toutes les coniques du faisceau ont leurs axes parallèles.

En particulier, les trois couples de sécante- communes doivent avoir des bissectrice.- parallèles el l'on peut dire encore que, pour que quatre points a. I>. c, d pris sur une conique soient sur un même cercle, il faut et il suffit que les cordes ab et cd, patexemple, soietit également inclinées sur les axes de la conique.

507. Manières d'écrire l'éqi \tiox d'un faisceau ponctuel. — Au Chapitre précédent, nous avons étudié en détail les coniques < et quadriques) dégénérées qui appartiennent à un faisceau donné. Il est souvent commode, quand on veut écrire l'équation du faisceau, de prendre une ou deux d'entre elles pour conique- i ou quadriques > de base. Voici quelques équations générales formées de cette manière.

Coniques passant par quatre points donnés a. 0. c, d :

~> ab .cd -i-Xac.bd = o,

en représentant conventionnellement paraè, par exemple, le premier

membre de l'équation de la droite ab.

Coniques tangentes en a à une droite T el passant par A^ux points

< 6) T .bc -hAab.ttc — u.

Coniques tangentes en a à T et en b à T' :

(7) TT'+À^2=n.

Coniques tangentes en a à une conique S el passant par deux de ses points b et c :

(8 ) S -1- \ab.ac = 0

(9) S -t- AT. 6e = o,

T représentani la tangente en a.

Si on laisse la droite bc indéterminée, on a toutes les coniques tangentes en a à S.

( Ioniques bitangentes à S en a el /> :

du S + XTT/=o,

T el I " représentani les tangentes en a et £. Coniques osculatriees en a à S :

(12) S — 1T .ab — o,

T désignant la tangente en a et aè une sécante passanl par a. Coniques surosculatrices en a à S :

(i3) S + ÀT»=o.

Quadriques passant par deux coniques données de la quadruple S :

(Ù) S-+-XPQ = o,

I' el Q représentant les plans des deux coniques.

DÉTERMINATION DES CONIQUES ET QUADBIQUES; EQUATIONS GENERALES. ~y>~

Quadriques passant par un quadrilatère gauche ABCD : (i5) ACB.ACD — '/. BDA.BDC = o.

Quadriques circonscrites à S :

(16) S-hàP2=o,

P représentant le plan de la conique de contact.

508. Faisceaux tam; i:\tiels. — Si les équations i i | sont des équations tangentielles, l'équation | 2 1 définit un faisceau tangentiel, dont S et S sont encore appelées les coniques (ou quadriques) de base. Les coniques (ou quadriques) S de ce faisceau sont caractérisées par la condition d'être tangentes à toutes les tangentes communes t ou plans tangents communs | (*) à S et à S .

Les propriétés des faisceaux tangentiels se déduisent par dualité de celles des faisceaux ponctuels. Nous laissons au lecteur le soin de les énoncer et de les démontrer, en reprenant corrélativement les

n :>niao07.

Enonçons seulement la proposition corrélative du théorème VIII.

Théorème VIII bis. — Le lieu des pôles (Tune droite (ou plan) fixe par rapport aux coniques (ou quadriques) il' un faisceau tangentiel est une droite.

En particulier, le lieu des centres est une droite. En Géométrie plane, cette droite passe par le milieu de chaque couple d'ombilics; c'est la droite rie Newton du quadrilatère complet formé par les quatre tangentes communes.

Comme en coordonnées ponctuelles, il est souvent commode d'utiliser les coniques 1 ou quadriques) dégénérées du faisceau pour former l'équation générale. On obtient ainsi les équations corrélatives des équations du n° 307.

."09. Faisceaux de cônes. — Si l'on considère des cônes 1 ayant même sommet O et dont les bases dans un plan II forment un faisceau ponctuel ou tangentiel de coniques, on obtient un faisceau ponctuel ou tangentiel de cônes. Ils peuvent être caractérisés par la condition de passer par quatre droites fixes issues du point O et appelées droites de base ou d'être tangents à quatre plans fixes passant par O et appelés plans de base.

L'équation générale d'un faisceau ponctuel de cônes est encore 1 équa-

(') Dans le cas des quadriques, on peut dire aussi que chaque quadrique £ doit être inscrite dans la développahle A circonscrite à S et à S'.

5l8 CHAPITRE xxxm.

l'on i 2 ), si les équations (i) représentent les cônes de base. On a une conclusion analogue pour un faisceau tangentiel, à condition d'adjoindre aux équations (i l et l > i l'équation tangentielle du sommet O.

Les propriétés des faisceaux de cônes se déduisent évidemment de celles des faisceaux de coniques, en considérant les bases dans le plan II.

On peut aussi observer que. dans l'espace, les faisceaux ponctuels et tangentiels de cônes peuvent être regardés comme corrélatifs des faisceaux tangentiels et ponctuels de coniques.

510. RÉSEAUX PONCTUELS ET TANGENTIELS DE CONIQUES. — Si l'on impose à

une conique trois conditions ponctuelles distinctes, son équation générale e-t de la forme

(17) XS -+- X'S'-t- }/S"= o.

Elle définit une famille à deux paramètres, qui porte le nom de réseau ponctuel. Les coniques S. S', S" sont dites coniques de base (cf. n" 17 \ .

Le faisceau ponctue/ déterlhinè par deux conicjues quelconques du réseau appartient tout entier au réseau. Car, en combinant linéairement deux expressions de la forme (17), on obtient encore une expression de même forme.

En particulier, on peut définir le réseau comme l'ensemble des faisceaux déterminés par S et une conique quelconque du faisceau (S', S").

I 'n définit de même le réseau tangentiel

auxquelles les propriétés précédentes s'appliquent sans modification.

Gomme exemples de réseaux, on peut citer les coniques circonscrites ou inscrites ou conjuguées à un triangle; mais ce sont des cas très particuliers.

511. RÉSEAUX CONTR AVARIANTS . HESS1KNNE. CAYLEYENNE. — Soient trois coniques Z. S', S" n'appartenant pas- à un même faisceau tangentiel. Considérons toutes les coniques S liarmoniquement circonscrites à chacune d'elles. Leurs coefficients ponctuels sont liés par trois relations linéaires | nos 497 et

i!)(i 1. Ces relations sont indépendantes, sans quoi S, S', X appartiendraient à un même faisceau tangentiel. 11 s'ensuit que les coniques S constituent un réseau ponctuel (R). Chacune d'elles est harmoniquement circonscrite à toutes les coniques du réseau tangentiel (p 1, dont les coniques de base sont 1. S', X" ; cela résulte, en effet, de ce que la condition qui exprime cette propriété est linéaire par rapport aux coefficients tangentiels des coniques S. Nous obtenons finalement deux réseaux 1 R 1 et 1 p . l'un ponctuel et l'autre t mgentiel, qui sont tels que toute conique du premier est harmoniquement circonscrite n toute conique du second.

deux réseaux sont dits conjugués ou cont /'avariants.

DETERMINATION* DES CONIQUES ET QL'ADRIQL'ES J EQUATIONS GENERALES. 3i<(

512. Considérons les coniques dégénérées de i R); chacune est constituée par deux droites D et D', se coupant en un point P. Cherchons le lieu de c point. Ses coordonnées x. y, z doivent satisfaire aux trois équations

, OS . , OS' . „ dS"

dx dx dx

, as .,àS' ,„os"

Oy djr Oy

. c/S ., dSj , „ as"

c*- c^j de

Si l'on éliminait a-, j". c, ou obtiendrait la relation homogène et du troisième degré à laquelle doivent satisfaire À, ).', X* pour que la conique (17) soit dégénérée ( ' ).

Si l'on élimine, au contraire, À, /.'. À", on obtient le lien du point I' :

OS Ox

dS' dx