DÉTERMINATION DES CONIQUES ET QUADJUQUES ; ÉQUATIONS GÉNÉRALES
(Y)', D',), donc au réseau (R). Il en résulte que Q appartient à la hessienne. Donc,
Théorème. — Les tangentes à la hessienne en deux points associes se coupent su/- la hessienne.
Le point Q' associé de Q est conjugué de Q par rapport à ( D, E),); il est donc sur PP'; c'est le troisième point de rencontre de cette droite avec la hessienne. Les droites Q'PP' et Q'Q sont deux tangentes associées de la cavleyenne.
On a des propriétés corrélatives pour la cavleyenne. La tangente PP' ail met pour point de contact le point M conjugue harmonique de Q' par /apport à PP',
La droite joignant les points de contact de deux laagenles associées est aussi une tangente.
ol4. Foyers d'uïïe courbe plané. - On appelle foyer d'une courbe plane C un point F d'où Von peut mener deux tangentes isotropes ou, ce qui revient au même, le centre d un cercle de ra )'on nul bitangent. La droite D qui joint les deux points de contact est appelée directrice correspondante au foyer F.
Cette définition est connue sous le nom de définition de Plucker.
Il est aisé d'évaluer le nombre des foyers d'une courbe dont on connaît la classe.
Soit, en effet, ni la classe de G. Par chacun des points cycliques 1 et J, nous pouvons mener m tangentes. Les tangentes issues de I rencontrent les tangentes issues' de J en ut2 points, dont chacun esl un lover. Doj C
Théorèm] f ne courir algébrique de classe m possède
m- foyers.
Dans le cas particulier où la courbe passe par les points cycliques, les tangentes en ces points comptent chacune pour deux, de sorte que leur point de rencontre est un loyer qui compte pour quatre. La directrice correspondante est la droite de l'infini. Un tel loyer est Appelé foyer singulier. Les autres foyers sont seulement au nombre de m- — \.
Si la courbe est tangente à la droite de l' in fini, cette droite fait partie des tangentes issues de I et des tangentes issues de J. 11 lui correspond comme foyers le point de contact M et les points 1 el J, ceux-ci étant comptés m — i fois. Quant aux m — i autres tangentes issues de chaque point cyclique, elles donnent [m — i)'1 foyers rentables.
olo. Foyers d'une conique. — T. a théorie des foyers esl surtoul
intéressante pour les coniques.
Si la conique C n'est pas une parabole, ni un cercle, il y a quatre foyers.
Si les coefficients de son équation sont réels, les tangentes issues de I sont imaginaires conjuguées des tangentes issues de .1; par exemple, IF est conjuguée de JF et IF' de JF'. Les foyers F et 1 sont clone réels et les deux autres ta et -s' sont imaginaires conjugués.
Nous verrons in" 53 5 i que les foyers réels coïncident avec les foyers qui servent de base à la définition élémentaire des coniques.
Dans le cas d'une parabole, iJ n'y a plus qu'un seul foyer, il es! d'ailleurs réel, si la parabole l'est et coïncide, lui aussi, avec celui de la définition élémentaire.
Dans le cas du cercle, les quatre foyers sont au centre.
La directrice correspondant à un foyer F est la polaire de ce point par rapport ci la conique. Cela résulte de la définition cidessus et du n° -43o.
Pour rechercher analytiquement les foyers d'une conique, il suffit de prendre un point quelconque F(#, y) et d'écrire que les tan génies issues de c J point sont isotropes. On obtient ainsi deux équations du second degré en x, y. qu'il suffit ensuite de résoudre.
11 v a bien des manières de faire ce calcul, qui dépendent surtoul de la manière dont est donnée la conique. Le cas le plus simple est celui où elle est donnée par son équation tangentielle
(i) /(«i v) fV ' = °-
L'équation aux. coefficients angulaires des tangentes issues (\u point Fl x. y | est (n° 211)
i 2 i /(m, —\. y — mx) = ...
Il suffit d'écrire qu'elle se réduit à (3) m--t- i = o.
Si la conique n'est pas une parabole, on obtient deux équations (\\\ second degré en x, y. Si elle est une parabole, w dans in, done y — mx dans (ai ne figurent qu'au premier degré ; on obtient donc
". ; , i II VIMTIIK XXXIV.
deux équations du premier degré en ./. r. conformémenl à ce qui .1 été \ m plus haul .
516. Coniqi es 110M01 u< \u s. — Les foyers de la conique C peux en 1 être considérés comme les <>ml>ili<-s du faisceau tangentiel 11 admettant pour coniques de base C et les points cycliques ('). Nous savons qu'il existe 1 rois couples d'ombilics. Le premier es! 1. .1 : le deuxième esl F, F : le troisième est 0, s .
Les diagonales l.l. FF' el coco formenl un triangle conjugué par rapporl à toutes les coniques du faisceau. Gomme 1.1 est la droite de l'inlïni, FF el ©a sonl deux diamètres conjugués. Ils sont, en outre, rectangulaires, parce que conjugués par rapporl aux points <\ cliques. 1 - ml donc les axes <!<■ G. 1 kmc :
Théorème. — * Les f d'y ers il une conique sont sur ses axes, les foyers réels sur un axe, les foyers imaginaires sur Vautre.
Le point (). étanl le centre de imites le> coniques du faisceau, est, en particulier, le cintre <ie- couples de points F, F' el o, »'. Donc, sur chaque axe, les foyers sont symétriques par rapport au centre.
Les coniques du faisceau If. ayanl toutes les mêmes foyers, sont appelée- coniques homofocales,
appliquons-leur les propriétés générales des faisceaux tangentiels 1 n°508).
D'abord, il existe nue seule conique II tangente à une iJroite donnée I>.
appliquons maintenant le théorème corrélatif «lu théorème fie Desargues. Les tangentes issues d'un point V décrivent deux faisceaux en involution. I. ■- droites l'I et PJ étanl deux rayons homologues, les rayons double* sonl rectangulaires. Far suite, ce sont les bissectrices de tous les couples de rayons homologues. En particulier, ce sont les bissectrices des angles FPF' et oPcs'. .Nous savons, d'autre part, que ce sont les tangentes aux deux coniques du faisceau qui passent par P. Nous pouvons finalement énoncer le théorème suivant :
1 méorème. — 1 Les tangentes menées par un point fixe P à îles c&niques I omofocales ai/mettent <les bissectrices fixes.
20 Par le point P passent deux de ces toniques ; elles se coupe? f à angle droit, leurs tangentes étant les bissectrices ci-dessus.
■ .1 pour équal i"ti t.uigentiellc
FOI i K-. "> ; i
i Lu tangente et lu normale en un point P d'uni conique sont bi triées des droites joignant ce /">int à le ux foyer* d'un même fixe.
4" Les tangentes I' I et l'T menées à uni- conique par un point P quel conque sont également inclinées sur les droites PF ■ t l'I Pond let .
Les propriétés 1° el i" sonl des propriétés bien connues en Géométrie élé m enta ire. Elles nous permeltenl d'affirmer, dès maintenant, que la définition de Plùcker conduit aux mêmes foyen que la définition élémentaire. <>n peut, en effet, quelle que *<>it la définition adoptée, caractériseï les foyers d'un axe A par la double condition d'être symétriques par rapport au centre el conjugués harmoniques par rapport aux deux points \ el I où la normale et la tangente rencontrent \. Or, il n'\ a qu'un «cul couple de points F, I sal isfaisanl à ces condil ions.
Le hrtt des pôles d une droite I* par rapport à des coniques homofocales est une droite D' ( n 508
Les deux droites sonl ■ juguées par rappori à la conique i \, J i; elles sonl
donc rectangulaires. De plus, elles divisent harmoniquement 1rs segments FF' et pcp'. Le point de contact M de la ionique tangente à D fait évidemment partie du lien. On peut donc le construire très simplement de la manière suivante :
On prend le point de rencontre T de l> avec Vaxe FF', puis le />>>i/it \ conjugué harmonique de T par rapport à FF' et l'on projette \ sur l>.
Gela résulte d'ailleurs aussi de la propriété !" du théorème énoncé plus
liant.
517. Dans tout le numéro qui précède, nous avons implicitemenl supposé que la conique C n'était pas une parabole. Voyons maintenant ce qui se passe quand on fait cet te hypol hèse.
Il y a deux couples d'ombilics qui se confondent avec le« points eveliques, le troisième étant constitué par le foyer F el le poinl de contact F1 de la parabole avec la droite de l'infini.
Toutes les coniques II du faisceau sonl tangentes en F à II : ce sonl donc imites r/es paraboles.
La droite FF' esl polaire double. < tr, son pôle par rappori à IJ est le point (i.
conjugué harmoniq le F' par rappori à IJ. c'est-à-dire le point à l'infini
de la direction perpendiculaire à FF'. Donc, FF' esl diamètre conjugué de la direction qui lui est perpendiculaire; c'est donc l'axe commun à toutes les paraboles II el non-; en concluons que le foyer d'une parabole se trouvt sur son axe.
Les autres propriétés énoncées au numéro précédent subsistent sans modification, à condition de t onsidérei toujours le point à l'infini F' des paraboles coin me le foyer associé au foyer véritable F. On retrouve ainsi, en particulier, les propriétés élémentaires de la tangente el de la normale, ce qui permet d'affirmer l'identité de la définition de Plucker et de la définition élémentaire.
M<S. Propriétés rei itives \ k directmce. - Soient un poinl F,
de coordonnées i a, |3 ) et une droite D, d'équation
(.\ ) » .r -T- IT H- (V e= o.
L'équation générale des coniques < ! admettant F pour foyer et I) pour directrice correspondante s'obtient immédiatement par application de l'équation (10) du n° o07,
(5) ( ./■ — a)2-r- (>* — i )'2 -- À ! »J" -+- <•)- -+- iri- = o.
Prenons F pour origine et la perpendiculaire à D pour axe des a?; notre équation se réduit à
e étant une constante positive, que nous substituons à X, nous bornant ainsi à considérer des coniques réelles.
L'équation (6) a une interprétation très simple. Si M désigne le point courant (x. r) et N sa projection sur D. elle s'écrit, en effet,
MF" = e2.\f\2 ou
MF
Donc,
Théorème. — Le rapport des distances d'un point quelconque <V une conique à un foyer et à la directrice correspondante est constant.
On retrouve encore une propriété élémentaire caractéristique des coniques, qui nous prouve, une fois de plus, l'identité de la définition de Plûcker avec la définition élémentaire.
Le rapport constant e porte le nom $ excentricité de la conique.
Les directions asymptotiques étant données par
on voit que la conique est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que l'excentricité est <i,>ioî«=:i) propriétés qui sont également bien connues en Géométrie élémentaire.
519. Reprenons l'équation (6), en introduisant la coordonnée surabon-
ilunte z définie par (8)
Toute équation peut être rendue homogène en x,y, z, en remplaçant, autanl
de fois qu'il est nécessaire, i par -( ' ). C'est ainsi que l'équation (6)
devient
(9) • ^+72-;2- On peut y satisfaire identiquement en posant
(10) a7 = 3COSç, y = zsino:
z et 9 sont alors le- coordonnées polaires du point M. Cherchons Yéquation homogène
Il X — V Y -- <r S == O
de la corde MtM2. Les coefficients u. c, w doivent satisfaire aux deux conditions
11 cos Ç| -t- v sin Oj — iv — o, u cos ç2 — l' s'n ?s — - ,r = o.
En les éliminant entre ces trois équations homogènes, on obtient, après
suppression du facteur ■>. sin- — ,
Y sin
Cette droite rencontre D en un point P, qui satisfait à l'équation
x cos -y sin = <>,
laquelle représente donc la droite FP. Cette droite a, par suite, pour angle
polaire
Donc :
Théorème 1. — La droite FI' est hissectrice de l'angle VIfFM2. Ceci est d'ailleurs facile à démontrer géométriquement. On a, en
(') Ceci revient à prendre de; coordonnées trilinéaires, le triangle de référence étant constitué par O.r, Oy et D.
5 18 i II.VI'ITRE XX\I\ .
effet, en appelant N, cl N2 les projections (!<■ M, et de M2 surD,
