FM
FM
el I mi esl ramené au théorème de la bissectrice.
Si la corde M, \l2 devient tangente, AI, et M2 se confondent et FP dr\ irni perpendiculaire à FM , .
En menant, du point i\ les deux tangentes l'M et PM', on obtient le théorème suivanl :
I héorème II. — Si d'un point P de la directrice, on mène les deux tangentes l'M et l'M . la corde de contact MM'passeparF et est perpendiculaire à II'.
Onpeul aussi déduire la première propriété du théorème du n° 435 el de ce que F est le pôle de D. Quant à la seconde, elle résulte de ce que les droites FP et MM' sont conjuguées par rapport à la conique et. par >uite, conjuguées harmoniques par rapport aux tangentes issues de F. lesquelles sont isotropes.
Si, dans l'équation (12), nous faisons <fi = '^2= 9, nous obtenons X équation homogène de la tangente en M
i3) x eo~^ + y sjno — z = o.
L'équation homogène de la tangente en M' est, de même.
x cos ©' -h Y sin çp' — z = o.
Si nous la retranchons de la première, de manière à éliminer s, nous obtenon*, après suppression du facteur 1 sin '- ,
x sin : — »■ cos - '- = o.
C'est l'équation de la droite joignant F au point de rencontre Q des deux
tangentes; comme elle a pour angle polaire -, nous avons le théorème,
bien connu en Géométrie élémentaire :
Théorème III. — La droite FQ est bissectrice de l'angle MFM'.
Reprenons l'équation (12 let cherchons lVmeloppe de la corde MiM2, quand l'angle MjFMi -demeure constant el égal à >\. On a alors — — = V. Si l'on
FOT! 9. 5 ig
Gl 4- <?i ,■ • \ »• •
pose — = o Uquation (i?. ) s ecnl
(l4) ■'' COSÇ -- i -pi - 3 cos V.
Sun enveloppe, quand ç varie, ;i pour équation homogène n" ■!'- (i5) ./■-' i ■- - z- coss \ .
Si l'on remplace ; par | 8 i. on obtient le théorème Miix.int :
Théorème IV. V enveloppe des cordes vues de F sous l'angle constant ! \ est une conique admettant V p<>m- foyer, l) pour directrice et e i l><iur excentricité.
520. Equatios focale en coordonnées polaires. — Transformons I équation i (i i en coordonnées polaires :
p 2= e-\ : eus io — a i- :
(I où
; = e(p n 'S tu — a .
Le changement de to ea to-i-—ei d<' :■ en — p nou- montre que les deux courbes obtenues en prenant successive me ni le signe + et le signe - au premier membre coïncident I n" iO i. Prenons, par exemple, le signe — . Nous avons alors l'équation
i -+- e cos ta
en posant p ea ( ' ).
Telle esi l'équation polaire d'une conique ^ quand on prend un forer pour pâle et l'are focal pour axe polaire.
La directrice D a pour équation polaire
.[71 p COS '■' '/.
On peut l'obtenir en supprimant le terme constant 1 au dénominateur de (h> 1.
Plus généralement, si l'on prend pour axe polaire i/n>' demidroite quelconque issue du foyer, l'équation <lc la conique est de la forme
(18) - = a cos isinco
(') Cette quantité p est appelée paramètre. On peut la délinir géométriquement comme étant la demi-cord€ menée par F perpendiculairement à l'axe focal.
< I Von obtient V équation de la directrice, en supprimant simplement le terme constant y du second membre.
On le voit en changeant m en to0 — f- « dans (16)- et (17) ou bien en partant de l'équation cartésienne (5 1.
521. Foyers d'une surface. — On appelle foyer d'une surface S tout point F i/ui est le centre d'une sphère de rayon nul bitangente à la sur/ace.
Tandis que. pour une courbe, il n'y a qu'un nombre limite de foyers (n°r>l&). pour une surface, il y en a une infinité ( ' ), constituant une ou plusieurs courbes appelées focales.
Considérons la développable A circonscrite à S et au cercle imaginaire de l'infini T. Si F est un foyer, le cône de sommet F et de base Y est tangent à S en Mj et M2. Le plan tangent à ce cône le long de FMi, par exemple, est tangent à S en Mj et à F en Ni. C'est donc un plan langent commun à S et à Y et, par suite, un plan tangent à A. Sa génératrice de contact avec A passe par ZM t et >. 1 : c'est donc FM]. De même, FM2 est aussi une génératrice de A. Nous voyons donc que le foyer F est un point par où passent deux génératrices de A.
Réciproquement , si F est un tel point, le cône isotrope de sommet F esl tangent à S aux deux points Mi, M2 où les génératrices de A issues de F touchent la surface S; le point F est donc un foyer.
Finalement, nous voyons que les foyers de la surface S sont les points doubles de la développable A; les focales de S sont les lignes doubles de A.
322. Focales d'une quadrique. — Supposons maintenant que la surface S soit une quadrique. D'après ce qui a été vu au 11" 493, les focales ne son/ autres que les coniques du faisceau tangentiel déterminé par la quadrique et le cercle imaginaire de V infini, déduction faite, bien entendu, de ce cercle lui-même.
Toutes les quadriques II de ce faisceau ont les mêmes focales; ce sont des quadriques homofocales.
Dans le cas général, il y a quatre coniques dans le faisceau, donc trois focales *i, *2) *3-
Les plans de ces quatre coniques forment un tétraèdre conjugue par rapport à tout le faisceau. Comme l'un d'eux est le plan de l'infini, il revient au même de dire que les plans II|, Il2, 113 des trois focales forment un système de plans diamétraux conjugués. D'autre part, si l'on applique cette propriété en prenant 1" comme quadrique du faisceau, on en conclut que les trois plans forment aussi un trièdre trirectangle. Ce sont donc les plans principaux communs à toutes
(') Le pointFn'est.en ellet, assujetti qu'à deux conditions, obtenues théoriquement
en écrivant que la spliere de rayon nul esl tangente deux fois.
les quadriqucs du faisceau. Nous avons finalement la proposition suivante :
Théorème J. — Les focales d'une quadrique quelconque sont trois coniques situées respectivement dans les trois plans principaux et admettant chacune pour axes les axes de la quadrique qui sont situés dans son plan.
523. Considérons un point quelconque F de <Iv Soient G et G' 1rs deux génératrices de A issues de ce point et P et P' les plans tangents à A le long de ces génératrices. Ces plans sont tangents à toutes les quadriques du faisceau, donc, en particulier, à <!>,. Us se coupent donc suivant la tangente FT à cette courbe. D'autre part, ils sont tangents, le Jung de G et de G', au cône isotrope de sommet F '. Ils se coupent donc suivant le diamètre conjugué du plan GFG'par rapport à ce cône. Il en résulte que le plan GFG' est perpendiculaire à FT, c'est-à-dire normal à <I>j. Enfin, toute quadrique H du faisceau, étant inscrite dans A, est tangente à P et à P' en des points situés respectivement sur G et G'. Il s'ensuit que le plan GFG' coupe H suivant une conique tangente aux isotropes G et G', c'est-à-dire admettant pour foyer F. Donc :
Théorème II. — Le plan normal en F à la focale *J>, est un foyer p<>ur toutes les sections des quadriques II par ce plan.
Si l'on coupe en particulier par le plan \l2 normal à <!>! en ses deux sommets À[ et Bl5 on obtient le théorème suivant :
THÉORÈME III. — Les sections des quadriques H. par un plan principal 11 sont des coniques homofocates. Leurs foyers communs sont les sommets situés dans IL des deux focales normales à ce plan.
Comme quadrique II, on peut prendre, en particulier, la focale située dans II et l'on voit ainsi que chaque focale a pour foyer s les sommets des deux autres focales qui sont situés dans son plan.
On peut aisément, d'après cela, trouver la nature des trois focales. Chacune a deux foyers réels; à elle trois, elles ont donc six sommets réels. Il s'ensuit nécessairement que l'une d'elles au moins, soit <I>i, est une hyperbole.
Pour faciliter le langage, appelons Ox son axe transverse, Oy son axe imaginaire et Oz la perpendiculaire à son plan. La focale «I^ du plan zOx admet pour foyers réels Ai et Bj, sommets de 4>i ; ses foyers imaginaires sont donc sur O.S. La focale <I\t du plan j'O j a, dès lors, ses quatre sommets imaginaires; c'est une ellipse imaginaire. Ses foyers imaginaires étant sur Or, ses foyers réels sont sur < > ^. Donc, «I>2 est une ellipse réelle. Finalement, nous voyons que les trois focales sont : une hyperbole, une ellipse réelle et une ellipse imaginaire.
ù2i. Cônes de révolution CIRCONSCRIT» A UNE QUADRIQUE. — Considérons le cône circonscrit à la quadrique S à partir du foyer F. Il est tangent à celte
surface, en particulier, aux points Mt et AL; il esi donc tangent, e long de SM, et de SM2, au cône isotrope de sommet F: par suite, il est bitangent au cercle imaginaire de l'infini, donc de révolution ( n° 479). Nous avons vu, d'ailleurs, au n" 523, que les plans tangents le long de SiNIt et de SM2 se coupaient suivant la tangente FT à la focale. Cette tangente est donc l'axe du cône i n° 479). Réciproquement, si le cône circonscrit de sommet F est de révolution, il est bitangent au cùne isotrope, lequel est, par suite, bitangent à S. Donc, F est un foyer.
Nous avons donc le théorème suivant :
Théorème. — Les foyers d'une quadrique sont aussi les sommets <les cônes de l'évolution circonscrits. L' axe d'un tel cône est tangent à la
focale.
Ceci nous donne une autre définition des loyers, ne faisant pas intervenir les éléments imaginaires.
Si l'on applique le théorème précèdent à l'une ou l'autre des focales réelles, on retrouve une proposition classique, qu'on démontre élémentairement au moyen du théorème de Dandelin < cf. Chap. XXXI, Exercice résolu n° i) :
Le lieu des sommets des cônes de révolution axant pour base une ellipse E est une hyperbole H, qui admet pour foyers les sommets du grand axe et pour sommets les foyers de E et dont le plan est perpendiculaire à celui de E. Zr lieu des sommets des cônes de révolution admettant II pour base est l'ellipse E. L'axe du cône de base E et de sommet F, situé su/- H, est la tangente en F à II.
'•25. Propriétés diverses. — Appliquons au faisceau II les propriétés générales des faisceaux tangentiels de quadriques.
D'abord, il y a une seule quadrique liomofocale à une quadrique donnée qui soit tangente à un plan donné.
Appliquons maintenant le théorème corrélatif du théorème de Desargues. Les plans tangents menés par une droite D forment une involution comprenant les plans isotropes, donc ayant ses plans doubles rectangulaires et, par suite, bissecteurs de tous les couples de plans homologues. D'où :
Théorème. — Les plans tangents menés par une droite D à des quadriques homofocales ont des plans bissecteurs fixes, qui sont les plans tangents aux deux quadriques du faisceau tangentes à D.
Ceci est une généralisation des propriétés i° et a0 du théorème du n° .'ilG.
Appliquons maintenant le théorème corrélatif du théorème IV du n° oO.'i.
Les cônes circonscrits aux quadriques H à partir d'un point I' forment un faisceau tangentiel de cônes, comprenant le cùne isotrope. Leurs plans polaires doubles sont donc-deux à deux rectangulaires et sont, par suite, les plans principaux de tous les cônes. D'où :
Théorème. — Les cônes circonscrits à des quadriques homofocaUs à partir d'un point I* ont tous mêmes axes. Il y a trois quadriques du
faisceau qui passent par P; leurs normales respectais sont ces axes. ( f/'oi's quadriques se coupent donc deux à deux à an^le droit.
Ce théorème peut être, lui aussi, considéré comme une généralisation des propriétés i° et 9.° du théorème du n 516.
Le théorème YIFI bis du n" .">08 mous donne enfin le suivant :
THÉORÈME. — Le lieu des pôles d'un plan II par rapport à des quadriques homofocales est une droite D perpendiculaire à ce p/la/i. Elle perce 11 au point de contact avec la quadrique tangente. Elle perce chaque plein principal en un point qui est le pôle de V intersection de ce plan avec II par rapport à la focale située dans ce plan.
d~2\. Cas des pvraboi.oïdes. — Dans les trois numéros qui précèdent, nous avons envisagé le cas général d'une quadrique S qui ne présente aucune position particulière vis-à-vis du cercle de l'infini l\ Examinons maintenant les cas où la développable commune A possède des singularités.
Nous considérerons d'abord le ca« où le plan de f est tangent à S (f), c'està-dire le cas où S est un paraboloïde.
77 n'y a plus que deux focales, dont les plans passent par le point de contact M de S a\«-c le plan de l'infini. De plus, ces plan- sont des plans polaires doubles pour tout le faisceau. >i l'on prend, en particulier, leurs pôles par rapport à f, on \oit que le pôle de chacun d'eux est le point à l'infini dans la direction perpendiculaire. Doue, les pleins des focales sont les plans principaux du paraboloïde.
Toutes le< quadriques H sont tangentes en .M au plan de l'infini. Elles forment un faisceau de paraboloïdes hômofocaux.
En particulier, les focales sont des paraboles admettant même are que ces paraboloïdes.
Le théorème II du n° o23 continue à s'appliquer sans modification. Quant au théorème NI, il subsiste aussi, sauf que les sections considérées sonl des paraboles et n'uni qu'un foyer. En particulier, chaque focale a pour sommet et foyer le foyer et le sommet de l'autre.
Les propriétés des n"5 524 et o2o ne subissent aucun changement.
o^7. Cas des quadriques di: révolution. — Nous avons maintenant à considérer le cas où r est tangent à S < 2 i. Si nous neus bornons i considérer des quadriques réelles, ceci ne peu! arriver que si Y est bitangenl ; . autrement dit si S est une quadrique de révolution.
-( ' ) C'est le eus corrélatif du cas II du u" 191.
(-) Ceci correspond, par dualité, à l'intersection d'une quadrique avec un cône tangent.
(3) Car si un point de Y est point de contact, le point imaginaire conjugué en est un autre.
11 y aurait aussi ii considérer le cas où S contient 1", c'est-à-dire est une sphère. Tous les points de l'espace sont des foyers; mais ce cas n'a pas d'intérêt.
>l( CHAPITRE XXXIV. — FOYEUS.
La développablc A se décompose alors en deux, cônes du second degré. Gomme ces cônes sont circonscrits à P, ils sont isotropes. Il sont, d'autre part, circonscrits à S et, ù fortiori, bi tangents. Leurs sommets F et F' sont donc des foyers, mai? des foyers singuliers.
Tous les plans (tassant par FF' sont des plans polaires doubles pour le faiscran: en répétant un raisonnement déjà fait, on voit que ce sont des plans principaux. Donc, la droite FF' est Vaxe de révolution de S.
Toute? les sections des quadriques II du faisceau par un plan II contenant F, par exemple, sont tangentes aux deux isotropes suivant lesquelles ce plan coupe le cône isotrope de sommet F, puisque ce cône est circonscrit. Elles admettent donc F pour foyer.
Si le plan II passe aussi par F', on voit que les foyers singuliers F et F' ne sont autres que les foyers de la méridienne de S. Ce résultat était facile à prévoir et ne présente pas grand intérêt en lui-même. Toutefois, si on le rapproche de la propriété précédente, on a le théorème suivant :
Théorème. — Ejtant donnée une quadrique de révolution, toute section faite par un plan passant par un des foyers de la méridienne situés sur l'are de révolution admet ce foyer pour foyer.
Les cônes isotropes de sommets F et F' se coupent suivant un cercle <ï>, qui est, on le voit aisément, le lieu des foyers œ et o' de la méridienne autres que F et F'. Chaque point ç> de ce cercle est le sommet d'un cône isotrope tangent le long de ©F et de ©F' aux deux cônes isotropes (F) el (F') et, par suite, bitangent à S. C'est donc un foyer de S et le cercle <P est l'unique focale de cette surface (*). On peut dire, en définitive, que les seuls foyers d'une quadrique de révolution sont ceux de ses méridiennes.
Nous n'insisterons pas davantage sur ce cas particulier, qui ne nous donnerait aucune propriété nouvelle intéressante.
(') On le voit aussi en remarquant que le faisceau admet une conique autre que V et la conique dégénérée (F, V).
528. Dans les Chapitres précédents, nous avons établi un certain nombre de propriétés des courbes <ln second degré, en partant de leur équation générale. On pourrail poursuivre cette étude <•! découvrir, de la même manière, une foule de propriétés nouvelles.
Mais, il est beaucoup plus simple d'utiliser dorénavant les résultats obtenus au Chapitre \\\l et d'étudier les coniques sur leurs équations réduites.
Non- avons deux cas à distinguer, suivant qu'il > ii^ii d'une conique à centre i ellipse ou hyperbole i ou d/une parabole.
