Applications. — I. Projections d'un vecteur. — Soit le

vecteur MM, défini par les coordonnées x, y, z de son origine et X . y\ z de son extrémité. Cherchons sa projection sur O x parallèlement à yOz. 11 suffit d'appliquer la formule de Chasles [n° 10, formule (8)] pour trouver que cette projection est x' — x, abscisse de l'extrémité moins abscisse de V origine. De même, les projections sur Oy et O; sont y' — y et z' — z.

IL Centre des distances proportionnelles. — Soient n points

COORDONNEES. 23

M,(#t,j,, s,) ('), M2(.r,, )-,, s2), M„(# „, r„, z„). A chacun

d'eux M/, affectons un certain coefficient positif ou négatif mi. Cela posé, nous appellerons centre des distances proportionnelles des points Mi affectés des coefficients nii le point M défini par l'égalité géométrique

(3) m, MM, -f- ot,MMj+. . .+ mnMM„ = o.

Nous prouverons l'existence d'un tel point et nous aurons du même coup ses coordonnées en projetant (3) sur chacun des axes de coordonnées parallèlement au plan de coordonnées opposé. Projetons, par exemple, sur O.r parallèlement àj(,):; nous avons

(4) nit'xi— x) ■+- m2(x2 — #)+...+ mn(x,i — x) = o;

d'où, en supposant m , -\- m2-f- • • • + nin -^é. o;

, . v m{ Xi ■+■ m2x2 -+- . . . -1- mnxn

/»! -+- m.2-r-. . .+ mn

Si donc la somme des coefficients n est pas nulle (-), il y a un point et un seul répondant à la question; ses coordonnées sont

Zm,Xi t-miYi ZmiZi

Théorème. — O/i «e chance pas le point M st To/i remplace plusieurs des points M/ y>ar /ew/ centre de distances proportionnelles affecté d'un coefficient égal à la somme de leurs coefficients.

En effet, remplaçons, par exemple, M,, Ma, ..., M y, par leur

centre de distances proportionnelles M'(.r', y\ z') atïecté du coefficient

m.\ -j- ms-f-. . . -+-m., = m'.

Le centre M" relatif aux points M', M/,+ l, . . . , Mn a des coordonnées.

(') Celle notation, très employée, signifie que les coordonnées du point M, sont

(-) Lorsque Sm, est nul, les sommes lm,j:., Smj(, Zmizi ne l'étant pas toutes, z7 /t'y « /?«s de centre des distances proportionnelles. Si toutes ces sommes sont nulles, il est, au contraire, indéterminé : tout point M de l'espace vérifie (3).

I elles que

.. a m'x'-h m„+ia",J+i -4-. . .-+- ninxn ( - ) ar = i — !

Mais on a, outre /«'= m, H- m2 -+-...-+- mp, ( 8) m'a?' = miJ| -4- fn2x-2-h . . .-t- mpscp.

En remplaçant m' et /n'a?' par ces valeurs dans x\ on retrouve x. Même chose pour y" et s". Donc, M" coïncide avec M. c. q. f. d.

Corollaire. — On peut déduire de là la construction suivante du point M, qu'on donne souvent comme définition du centre des

ii s\ • i» / P i ^M i rrii

distances proportionnelles : Un construit l , tel c/ue ^ = — >

P2M2 • r, , P2Pi — "'3 • d , / P3P2 —mi

puis P2 tel que-f-r-= .puis P3 tel que — — = , >

P2M:J P:)Mi

e£ <r«/m de suite jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les M,. Le dernier point \\i t obtenu est le centre des distances proportionnelles cherché.

En effet, nous remplaçons d'abord M, et M2 par leur centre de distances proportionnelles P, affecté du coefficient /?, = mi + m2, puis P, et J\I3 par leur centre P2 affecté du coefficient

p2 = pl -+- /»3 = m, -4- »i8-+- m3,

et ainsi de suite. Or, nous savons que toutes ces opérations laissent le point M invariable.

Ceci nous prouve du même coup que, quel que soit L'ordre dans lequel on prend les M/, la construction précédente conduit toujours au même point final.

Remarque. — Dans le cas de n = 2, le centre des dislances propor-

1 • * i • • "\r~nii 1 ^ ^'* 1 fil*

lionnelles est le point qui divise M, Mo dans le rapport = ■■

r l ll MM, '"1

Si Ton prend ni, = 1, m2 = X, on voit que les coordonnées du point

oui divise M, M > dans le rapport. ' = — -a sont 1 " ll M M2

COORDONNKKS.

Centre des moyennes distances. — 11 est obtenu en supposant

tous les coefficients nii égaux. Ses coordonnées sont, d'après i 5),

xl-i-xi+-... + a;n y\~y<i — '-- — y,i sv-+-Zt -+-.... -4- zn \io) > j ■ — ■ — '

c'est-à-dire les moyennes arithmétiques des coordonnées des points proposés.

Si n = 2, on a le milieu du segment M, M2

, . -ri + -r2 yi — y-2 Zi H- zt

\ll) 5 > *

Si n = 3, on a le centre de gravité du triangle M, M2M3 | ' )

,n-^ j-j-4-3-3 v,— jK2-i-^3 -1— fl+ fa i, 1 2 j T— — ■ > , •

Pour n = 4< on aurait de même le centre de gravité d'un tétraèdre.

2i. Détermination d'une direction. — Les coordonnées cartésiennes se prêtent aussi très bien à la détermination des directions.

Etant donné un axe ou une demi-droite, nous appellerons point directeur de cet axe ou de cette demi-droite l'extrémité li du vecteur qui a pour origine l'origine des coordonnées, pour longueur 1 et pour direction et sens les direction et sens de l'axe ou de la demidroite. Les coordonnées de ce point seront appelées les paramètres directeurs de l'axe ou de la demi-droite. Leur connaissance entraîne celle du point U et détermine par suite complètement la direction et le sens de Y axe ou de la demi-droite.

Les paramètres directeurs sont au nombre de deux en Géométrie plane et de trois en Géométrie dans l'espace. Mais, en aucun cas. ils ne sont indépendants; ils sont liés par une relation (2) qu'on peut obtenir en exprimant que la distance OL est égale à l'unité. Nous fie

(') On peut le voir en s'appuyant sûr la construction donnée plus haut, ou bien

en vériliant l'égalité géométrique GM,-+- GM}+ GM3 = o.

(-) C'est facile à prévoir, car il suflit d'un angle, dans le plan, de deux angles, dans l'espace ( n,JI -29 et 30), pour déterminer une direction. Les paramétres directeurs sont donc en nombre surabondant d'une unité.

nous en occuperons que dans le cas des axes rectangulaires ('), hypothèse dans laquelle elle est fort simple.

Soient d'abord deux axes rectangulaires Oxy et le point directeur U, de coordonnées [a, b). Le contour des coordonnées OAL constitue un triangle rectangle, pour lequel le théorème de Pvthagore donne

(i3) ÛÂ2-<-ÂÏÏ2= OU2,

c'est-à-dire I i i i a2 -+- 62 = i .

Si maintenant nous considérons le trièdre trireetangle Oxyz et le

Fig. fi.

UfcL.bc/

contour OABL des coordonnées du point L ( fig. 6), nous avons, dans les triangles OBI et OAB (2),