OU" = BU"-+-OB~ = BU
OA
Lorsque les coordonnées sont rectangulaires, les paramètres directeurs d'une direction sont les projections orthogonales du vecteur unitaire de cette direction sur les axes. Ce sont donc les cosinus des angles que fait la direction avec les axes (n° 19). C'est pourquoi ils portent, dans ce cas, le nom de cosinus directeurs.
!2o. Lorsqu'on veut seulement déterminer la direction d'urie
(') Pour les axes obliques, voir Niewenglowski. Cours de Géométrie analytique (Gaulhier-Villars), 1. 1, n<" 47 à ô'i; t. Ht, n" 15 à 18. Nous désignerons dorénavant cet Ouvrage sous la rubrique N,. N,,, !STm, suivant qu'il s'agira des Tomes I, II ou III.
C) On peut aussi se servir d'un théorème sur la diagonale d'un parallélépipède rectangle, dont nous donnons, en somme, la démonstration.
droite non orientée, il suffit de se donner les projections sur les axes, parallèlement aux plans de coordonnées ( ' ), d'un vecteur quelconque porté par la droite ou, ce qui est équivalent, les coordonnées ( y., B~ y) de l'extrémité V d'un vecteur parallèle ayant pour origine
l'origine des coordonnées.
Si l'on imagine d'orienter la droite par le vecteur unitaire OL . on
a une égalité géométrique de la forme ON = p. OU, p étant un certain nombre positif ou négatif (2 i. Par suiLe (n° 16), si a. b, c désignent les paramètres directeurs de la droite ainsi orientée, on a
(17) y. — pa, $ = pb. y = ?c-
Autrement dit, a, (J, y sont des quantités proportionnelles aux paramètres directeurs. Nous les désignerons néanmoins souvent, pour abréger, sous le nom de paramètres directeurs. Quand les axes seront rectangulaires, il n'y aura aucun danger de les confondre avec les cosinus directeurs. En coordonnées obliques, lorsque nous voudrons spécifier qu'il s'agit des projections du vecteur unitaire, nous dirons paramètres directeurs unitaires.
Connaissant les paramètres directeurs a, (â, y au sens général que nous venons de définir, il est facile d'avoir les paramètres unitaires, ou, pour nous borner au cas des axes rectangulaires, qui seul esl intéressant, les cosinus directeurs. Il suffit de tenir compte des équations (17) et (16). On en déduit, par un calcul élémentaire,
d'où
(18) p =±v'vr--r- p-h -;-.
Puis,
Suivant que, dans la formule (18). on prend le signe -f- ou le
signe — , la droite est orientée dans le sens du vecteur OA de projections a, (3, y ou dans le sens opposé.
(') Nous considérons seulement le cas de la Géométrie dans l'espace. Dans le plan, il n'y a rien à changer, à part la suppression d'un axe et delà coordonnée correspondante.
(2) Ce nombre p est égal à OV sur la droite orientée.
26. Sens de rotation. — On peut aussi déterminer les directions par des angles. \ cel effet, if nous faut, au préalable, définir des sens positifs de rotation.
Orientation du plan xOy. — Quand, dans nu plan, ou a deux axes de coordonnées 0.ry, on convient toujours de l'orienter de
telle manière que 10 #, Ojy possède une détermination comprise entre o et ~. Autrement dit. le sens positif de rotation est celui dans lequel il faut faire tourner la partie positive de l'axe des r pour l'amener sur la partie positive de l'axe des y, en ne décrivant qu'un angle intérieur à deux droits. Ce sens est évidemment déterminé sans aucune ambiguïté. Nous l'appellerons souvent, pour abréger, le sens de Ox vers ( )y.
Sens positif de rotation dans les plans et autour des axes de coordonnées. — Soit maintenant le trièdre Ojr;. Nous prendrons eomme sens positif s de rotation dans les plans ocOy, yOz, z-Ox. les sens respectifs de Ox vers Oy, de Oy vers Oz et de Oz vers Or. Ces sens ne changent pas dans une permutation circulaire cpielconque effectuée sur les axes.
Nous allons maintenant définir les sens de rotation autour des axes. Imaginons qu' un plan passant par Oz tourne autour de cette droite. Il peut tourner dans deux sens différents. Nous dirons qu'il tourne dans le sens positif si sa trace sur xOy décrit ce plan dans le sens positif . On peut encore dire que le sens positif est celui qui amènerait z-0 x sur zQy par une rotation inférieure à deux dièdres droits. C'est le sens de zOx vers zOy. Les sens de rotation autour de Ox et Oy sont. de même, ceux de xOy vers xOz et de yOz vers y( ).r.
27. Sens positifs de rotation autour d'une droite orientée <-t dans un plan quelconque de Vespace. — En supposant toujours l'existence de> axes Oxyz. on peut aisément orienter, au point de vue de la rotation, un axe quelconque A A de l'espace. 11 suffit d'imaginer qu'on déplace le triédre Oxyz de telle sorte que O; vienne se placer sur ).'/, el dans le même sens. Le sens positif de rotation autour de Or ne cesse pas, dans ce déplacement, d'être constamment
COORDONNÉES. 3l
déterminé. Il l'est donc encore quand Oz est sur X'X et constitue alors le sens positif de rotation autour de a A (').
On définit de même le sens positif de rotation autour dune demi-droite ou d'un vecteur.
Il est aisé de se rendre compte que le sens positif de rotatiob change quand on remplace l'axe (ou la demi-droite, ou le vecteur) par un axe (ou une demi-droite, ou un vecteur) opposé.
Pour oriente/- un plan l\ on lui mène, à partir d'un de ses points, une demi-droite perpendiculaire Ma. Puis, on imagine un plan tournant autour de M A dans le sens positif défini par cette demidroite. Sa trace sur I* décrit celui-ci dans un sens qui est le sens positif de rotation dans P.
Il est évident que ce sens dépend essentiellement de la région de l'espace dans laquelle se trouve Ma. Si l'on remplace Ma par la demi-droite opposée, le sens est changé. La région qui contient Ma sera dite la région positive. Il est donc équivalent d'orienter un plan ou de se donner sa région positive.
28. Trièdres à gauche et trièdres à droite. — 11 existe d'autres procédés que le précédent pour orienter un axe au point de vue de la rotation. L'un d'eux, fréquemment employé, consiste à imaginer un observateur couché le long de l'axe, dans le sens de l'axe (c'està-dire le sens positif allant des pieds à la tète) et à prendre pour sens positif de rotation soit le sens de gauche a droite < qui amène la main gauche de l'observateur sur sa main droite en passant en avant), soit le sens de droite à gauche. L'inconvénient d'un tel procédé (2) est qu'il crée des confusions, en ce sens que les différents géomètres ne sont jamais d'accord sur ce qu'ils appellent sens positif et sens négatif. C'est ainsi, qu'en France, les géomètres adoptent généralement le sens de gauche à droite comme sens positif, tandis que le> astronomes adoptent le sens de droite à gauche (sens direct). En Allemagne, les géomètres font comme les astronomes.
La comparaison de notre méthode avec celle de l'observateur nous montre qu'il existe, de ce point de vue, deux espèces de trièdres.
(') Si X"X est Ox ou O^, on retrouve les sens positifs définis au numéro précédent.
('-') Il est néanmoins commode, nous dirons même indispensable, pour distinguer pratiquement les sens de rotation dans les applications et les comparer au sens défini par les axes.
3a CHAPITRE III.
Ceux qui définissent le sens positif comme sens de gauche à droite sont dits trièdres à gauche. Les autres sont dits trièdres à droite.
Si l'on remplace un axe par Taxe opposé, le trièdre change d'espèce. Il en va de même si l'on permute deux axes < '). L'espèce ne change pas dans une permutât)' i circulaire.
Un trièdre de coordonnées étant choisi, tout trièdre de même espèce sera dit trièdre positif, tout trièdre d'espèce différente sera dit trièdre négatif.
29. Angles polaires d'une demi-droite. — Les conventions précédentes étant adoptées, voici comment on peut encore déterminer, par rapport à des axes de coordonnées, une direction, que nous pouvons toujours ramener à être celle d'une demi-droite OX issue de l'origine.
En Géométrie plane, nous déterminons OX par son angle polaire o (n° 14), l'axe polaire étant Ox et le sen» positif de rotation le sens défini par les axes ( n° 126 ).
Supposant les axes rectangulaires, calculons les cosinus directeurs en fonction de es. On a
a = cos^Oar, OXy = cosep.
Puis,
b = cos\6y, Ox).
Or. d'après la formule de Chasles < n° 1-4),
Or. OXj = (Or, OXj — {Ox, Oy
Donc :
b = cos (o — — ] = cos ( — — a \ = sir» ep.
Les cosinus directeurs d'une demi-droite d'angle polaire o sont cos s et sinco. C'est là un résultat qu'il est bon de retenir une fois pour toutes.
30. Soit maintenant le trièdre trirectangle Oxyz (fig> ')■ Projetons OX orthogonalement sur xOy et sur la projection obtenue, choisissons arbitrairement une demi-droite Ou. Nous appellerons
(') L'espèce d'un trièdre n'est donc déterminée qu'autant que ses arêtes sont orientées et qu'est fixé l'ordre dans lequel on doit les énoncer.
longitude l'angle polaire b de Ou dans xOy. Nous appellerons colatitude l'angle 8 = \Oz, OXy, le plan ;Oa étant orienté de 0,5
Fi g.
vers Ou,, ou, ce qui revient au même, autour de la demi-droite Ou,',
qui a pour angle polaire o-j — - dans le plan des xy.
Les angles z> et 9 seront appelés les angles polaires de Oa. Calculons les cosinus directeurs. Ce sont les projections du vecteur
unitaire OU sur les axes. Projetons U en A sur xOy, donc sur Oui (ou sur son prolongement). On va projeter sur les axes l'égalité
