II X -: V Y -+- II
on obtient
En portant dans i i i. on obtienl Yéquation tangentielle ( 10; A «ï— F5 1'2 — ii>» = o.
On peut l'utiliser pour résoudre différents problèmes sur les tangentes. Par exemple, si l'on cherche les tangentes issues d'un point IV/-. t ). «m peut former immédiatement l'équation du second degré qui donne leurs coefficients angulaires (n° "2\ I i,
ou
A m 2 — B — ( y — mx)*= < >
(A — x- ) ni- ■+■ ■>. ni xy — B — y2
En discutant la réalité « les racines, on trouve des propriétés élémentaires bien connues et qui. (railleurs, sautent aux yeux, dès qu'on regarde une ellipse ou une hyperbole. Nous laissons au lecteur le soin de taire, comme exercice, cette petite vérification analytique. Cherchons la condition pour que les Jeux tangentes issues de I* soient rectangulaires. Pour cela, il faut et il suffit que les racines de l'équation (11) aient pour produit -i, ce qui s'écrit
D'où le théorème suivant :
Théorème de Mohge. — Le lieu des sommets des angles droits
circonscrits à une conique à centre <-sl un cercle concentrique à la conique.
Ce cercle porte le nom de cercle de Monge ou encore cercle orthoptique.
Dans le cas de l'ellipse, il est toujours réel el ;i pour rayon da,- -f- b-. C'est le cercle circonscrit au rectangle formé par les tangentes au
somme! .
5JS CHAPITRE XXXV.
Dans le cas de l'hyperbole, il a pour rayon y ci- — ■ b'2. 11 n'est donc réel que si a b. c'est-à-dire si l'angle des asymptotes qui comprend l'axe transverse est inférieur à un droit. Si l'hyperbole est équilatèrc, il se réduit à son centre; les asymptotes sont alors les seules tangentes rectangulaires qu'on puisse mener.
531. Propriétés des normales. - La normale au point M(#,jy) a pour équation
(i4) AX7— BY.r = (A — B)xy.
Cherchons les normales issues (V un point donné P| xt). y0 >. Pour cela, nous remplaçons, dans (1.4 >. X par x0 et \ par r0 : nous obtenons l'équation
( 1 5 ) ( À — B )xy -+- Bjk0 x — A x0 y = o,
qui détermine, avec (i), les coordonnées des pieds des normales cherchées.
Si Ton interprète géométriquement, on voit que ces pieds peuvent être obtenus par l'intersection de la conique (C) avec l'hyperbole (H > définie par l'équation (i5). dette hyperbole passe à l'origine et au point P; elle admet les axes pour [directions asympto tiques. Elle coupe (G) en quatre points réels ou imaginaires. On l'appelle hyperbole d'Apollonius du point P.
Nous avons donc le théorème suivant :
Théorème. — Par tout point P du plan, on peut mener quatre normales réelles ou imaginaires à une conique à centre. Les pieds de ces normales sont à V intersection de la conique et de l'hyperbole d'Apollonius du point P.
Nous allons maintenant discuter la réalité de ces normales.
Faisons d'abord observer qu'il est géométriquement évident que deux au moins sont réelles. En effet, si (C) est une ellipse, la branche de (H) qui passe à l'origine coupe nécessairement l'ellipc en deux points réels. Si (C) est une hyperbole, chaque branche de (\\) a ses deux points à l'infini, l'un
ETUDE DES CONIQUES SLR LEURS EQl WTIONS REDUITES.
extérieur, l'autre intérieur à (C) et, par suite, donne au moins un point d'intersection réel.
Pour discuter la réalité des deux autres normales, il faut traiter la question par le calcul. \ cet effet, au lieu de prendre l'équation (i5), déduite tic ii j), partons de la suivante :
Af.ro — .ri Bfiv
déduite de fi3). Si nous appelons X la valeur commune des deux rapports, nous avons
A;r(l li va
Ce sont les équations paramétriques de l'hyperbole d'Apollonius. Portant dans (1), nous obtenons l'équation aux X des pieds des normales :
A chaque racine de cette équation du quatrième degré correspond une normale, dont le pied, donné par les formules (17), est réel en même temps que À. Nous sommes donc ramenés à discuter la réalité des racines de l'équation (18).
A cet effet, nous étudions les variations de/\Xj, (1. I, n" 263 .
Nous remarquons d'abord que f\ X ) devient infini pour À = — A±e et X = — B dz s, en prenant, dans le premier cas, le signe de A, et dans le second, le signe de B. Comme, d'après les conventions faites au n" o2i>. \ est toujours positif, fi — A.) = -+■ x. D'autre part, fi — se) et/i-r.i sont tous deux égaux à — 1. Aous avons donc déjà le tableau suivant 1 ! 1 :
Ceci nous prou\e qu'il y a au moins une racine réelle }^ entre — x et — A et au moins une racine réelle X2 entre — A et — x. Anus retrouvons le résultat prévu géométriquement.
Pour pousser plus loin ia discussion, il faut faire appel à la dérivée
■2 Agj A — X )3
Elle s'annule pour une seule valeur réelle /.', donnée par A-4-X' i: - - X' A — B
Kylf
(') D'après les conventions du n" 529, on a toujours A >!!. donc — A
Nous en concluons d'abord que la racine Ai est unique dans l'intervalle i — », — A i, sans quoi cet intervalle comprendrait trois racines de /Va n donc au moins deux racines de /'(X), d'après le théorème de Rolle (t. I, n" (il |; ce qui est impossible.
Le même raisonnement nous prouve que la racine A* est unique dans l'in- I ci val le — !!. -4- ac), si B >o, ou dans l'intervalle ( — A, — B), si B < o.
Il nous reste finalement un seul intervalle I, où il puisse y avoir d'autres racines que }.{ et A2: c'est l'intervalle i — A, — B ), si.B>o; ou l'intervalle i — B, --y-), si B<o. Comme /(A) prend le même signe a aux deux extrémités, ces racines sont en nombre pair : zéro ou deux. Si elles existent, elles comprennent nécessairement ).', en vertu du théorème de Rolle. et /VÀ'i a le signe opposé à i. Réciproquement, si X' se trouve dans l'intervalle I et h ,/'("/. < a le signe contraire à 7, il y a deux racines, de part et d'autre de a', clans cet intervalle.
Finalement, pour que l'équation (18) ait ses quatre racines réelles, il faut et il suffit que l'on ait les inégalités suivantes :
- A '<>.'< - B, /(X')<o, — P. < /.'. f\ a' i> o, si
si B >o ( ellipse i; B < o (hyperbole).
Dans le premier cas, les formules 1191 montrent tout de suite que A -+- /.' est positif et B -4- À' négatif; donc, la condition — A<X'< — B est satisfaite identiquement. Il ne nous reste que la condition fi X' i< o.
Posons, pour simplifier l'écriture,
Nous avons
kx% i3-+- 1 Byî |3= A.
G ' Cl
A + A'= -.(Aa?J I3, B-4-X' = - -•( Byl >3 ;
La condition de réalité des quatre normales est donc
A3 < C2 ou
A C3, ou. enfin, en remplaçant A par a'2, B par b- et G par c2,
(ai)
ax0 13 — 1 bjo 13— c3< o.
Dans le cas de l'hyperbole, la condition — B < X' équivaut, d'après (19), à A > o. Elle est entraînée parla condition f\ X' >> o, qui s'écrit, en effet,
ETUDE DES CONIQUES SIR LE l'A S EQUATIONS REDUITES.
et qui demeure, par conséquent, l'unique condition de réalité. En remplaçant V par a2, 1> pai - b- et G par c2, elle s'écrit
i ri l ( ax0 r — i by9 l ' — c* > o.
l£n définitive, on peut énoncer la proposition suivante :
Théorème. — Du point P, on peut toujours mener deux normales réelles à la conique (C). Pour qu'on puisse en mener quatre, il faut et il suffit que les coordonnées de P satisfassent à l'inégalité (21), si (G) est une ellipse ou à l'inégalité (22 ). si (G) est une hyperbole.
Il nous reste à interpréter géométriquement ces inégalités. Pour cela, nous savons qu'il faut d'abord construire les courbe> (D i, obtenues en annulant les premiers membres i n° 56 1.
Dans le cas de l'ellipse, la courbe (D) a pour équation
1 ax |3 ~ 1 by |3 = c1
Cette équation est résoluble indifféremment par rapport à x ou par rapport a 1 . Si on la résout, par exemple par rapport à x, on constate, en se bornant
aux valeurs positives de x et de y, que, y croissant de o à -r-> x décroît de —
