I ./ J T fj a
à o. D'autre part, le coefficient angulaire de la tangente est
dy â I by\A
dx b \ ax j
Il est nul au point de départ, infini au point d'arrivée. Nous avons finalement
Fis. o">.
l'arc de courbe A^i, que nous complétons ensuite par symétrie par rapport aux deux axes ( fig- >2 >.
La coarbe présente, comme on voit, quatre points de re brousse ments l ' . Si l'on remarque que l'inégalité (ai") est satisfaite pour x0 = y0= o, on voit
que les points d'où l'on peut mener quatre normales à l'ellipse sont les points intérieurs à la courbe (D).
Dans le cas de l'hyperbole, l'équation de la courbe ( D i -'écrit
ii.r '■ i by i3 = c3.
Elle se construit comme précédemment, en faisant croître, par exemple.
y de o à 4-ao, auquel cas x croît de — à -+- oo. La courbe part encore du ~ a
.a point Ai de 0 a? et va à l'infini dans la direction de coefficient angulaire 7-»
suivant une branche parabolique 1 - |. En complétant par symétrie, on obtient la courbe de la figure 53, qui présente deux points de rebroussements 1 3 1.
Si l'on remarque que l'inégalité (22) n'est pas satisfaite pour .r0= r0 = o, • m voit que les points d'où l'on peut mener quatre normales à V hyperbole sont les points des deux régions limitées par la courbe 1 D 1 qui comprennent les parties éloignées de Ox.
S32. Développée; centre de courbure, rayon de courbure. — Si le point P
(') C'est la projection d'une hypocyclol'de à quatre rebroussements (n° COO). Le point A, est conjugué harmonique du sommet A par rapport aux foyers F, F . 11 est toujours intérieur à l'ellipse. Quant à Br il est intérieur seulement si l'on a a < lr\ 2.
(2) La partie principale de ax — by =[c3-t-(6y)*J — by se calcule aisément en développant le crochet par la formule d*u binôme, après mise en facteur préalable
de by. On trouve comme premier terme non nul du développement ci by) . qui
tend vers l'infini avec y. On a donc bien une branche parabolique (n°"230). Les directions asymptoliques de (D) sont perpendiculaires à celles de(C).
(3) Le point A, est encore conjugué harmonique du sommet A par rapport aux foyers. Il est donc intérieur à l'hyperbole.
vient sur (D), l'équation 1181a une racine double: deux de- normales i ssne- <le P sont confondue-. On en coin lut | n" 27"2 | que la courbe I D) n'est autre que l'enveloppe des normales, c'est-à-dire la développée l u" 312) de la conique (G) (*).
On peut retrouver directement ce résultat de bien des manières, en s'appuyant sur la théorie des enveloppes.
Prenons, par exemple, dans le eas de l'ellipse, l'équation de La
normale sous la forme, déduite de ( i /\),
ax by ,
cosç sino
où es désigne l'anomalie excentrique du point M. Pour avoir I enveloppe, nous dérivons par rapport à ce :
a;rsinc by cose
OU
ni- by
En éliminant ce entre (26) et ( 2- i, on retrouverait l'équation 1 23) 1 - 1. Résolvons plutôt par rapport à x, y :
( >8 1 x = — cos3c, v = — -j-sin3©.
Nous obtenons le- équations paramétriques de la développée Mais, on peut aussi considérer ces formules comme donnant les
coordonnées du centre de courbure C de l'ellipse au point M.
puisque ce centre de courbure est le point de contact de la normale
avec son enveloppe (n° 312).
En prenant la distance R = MC, on peut ensuite calculer le rayon
(') Si P est sur l'un des axes, deux normales sont aussi confondues avec cet axe. Cela tient à ce que les axes sont des tangentes doubles de la développée (n° 299). (-) On tire cos-ç etsiutp de (26) et (2-), en écrivant cette dernière son- la forme
,,,.,■,■■ — {by)'
On porte ensuite les valeurs obtenues dans cos-2 + sin-s =1.
(3) On aurait pu s'en servir avantageusement pour la construction de la courbe ( l* ). faite au numéro précédent.
i > i CHAPITRE XXXV.
de courbure. On obtient
— cos2 s — « cos2c -4- ( -r sin2 1 -+- a) sni- o V « / ' \ b J
cos2 z .„ . ?in-c .
i a- sin2o -i- o2cos2cp i2 H j—2- i a- s in2 o ■+- o2co-2 s r2
i a2sin2c -+- è2(
a2sin2c - b2 cos8©-")*
ab
Cette formule, qui aurait pu se déduire immédiatement de la formule générale (11) du n° 313, peut s'écrire, en remarquant que ( — «sin», tcoso) sont les coordonnées de l'extrémité M' du diamètre conjugué de OM (n°533),
ÔM71
On a aussi
1 ii 1
ab
a2jf 62 OM
ab
On voit que le rayon de courbure en M varie en sens inverse-
de OM; il est maximum et égal à -y aux sommets du petit axe,
minimum et égal a — aux sommets du grand axe. a °
Le cercle de courbure (F) a pour centre C et pour rayon R. Nous savons que c'est aussi le cercle oscillateur. Il coupe (G) en trois points confondus au point M et en un quatrième point Q (fig. 32 ). D'après le n° 485, VI, la tangente AIT et la sécante MQ constituent les sécantes communes des deux coniques (C) et (Y). Comme (T) est un cercle, ces deux sécantes sont également inclinées sur les axes de (C ) (n° 0O6'). Réciproquement, si nous menons MQ symétrique de MT par /apport à \ly, le cercle tangent en M à MT et passant par Q est le cercle de courbure au point M. En menant la perpendiculaire au indien de MQ et prenant son intersection avec la normale MN, on obtient une construction simple du centre de courbure.
Dans le cas de l'hyperbole, on a des résultats analogues, qui peuvent se déduire des précédents par le changement de b en ib et de cd en io. Nous laissons au lecteur le soin d'écrire ce que deviennent les for-
mules (261. (28), (29), (3i) fi ilf voir comment varie le rayon de courbure. Quant aux propriétés «lu cercle de courbure, elles ae subissent aucune modification.
533. Propriétés des diamètres. Le demi-diamètre p d'angle polaire o> s'obtienl très simplement en remplaçant, dans (i), a? parpcosw et y par p sinoj :
1 cos'o) sin-oj
On peut aisément discuter sa réalité et sa variation; cela conduil à des propriétés évidentes.
Changeons <o en w -\ — et ajoutons, il vient
Donc, la somme des inverses des carrés de%deux diamètres rectangulaires est constante.
Etudions les systèmes de diamètres conjugués dans l'ellipse.
Étant donnés les deux points M (a?, y) et M'i.r'. r'i. la condition pour que les diamètres O-M et OM' soient conjugués est l n" 163 I
