XX' Y Y
(34) — r - -jt - °-
Si nous supposons que M et M' sont sur l'ellipse et ont pour anomalies C9 et a', c<ite condition s'écrit.
cosç ros'j'-f- sin cp sin:; = o
on
cos(cp' — o) = o,
Sur l'ellipse, les extrémités de deux diamètres conjugués sont donc caractérisées par la condition que leurs anomalies excentriques diffèrent d'un angle droit.
Si l'on prend 0'=© -+--> on a
a ■ — — « -in 9 = — T 1 . y = o cosç — — ' .
Si l'on prend ©' = o — -j .r' et >' changent de signe. Par consé-
quentj /<?.* deux extrémités M' <?£ M" ^/// diamètre conjugué de OM o/// pour coordonnées
Ces formules sont connues sous le nom de formules de Chasles. Calculons la somme OM + OM' • Nous avons
OM~-f- OM' =x"-~ y"-^ x'1-^ y'2 = (xi+x'i) — < jk2 — j'2 \,
OM — OM = («2cos2ç — a- sin2çp) — (62sin3ç — 62cos2ç) = a2 -+- 6-.
Calculons l'aire du triangle OMM' :
aire O.MM' =
- ( xy' — yx' ) = - ab (coss sine' — sin o cosœ' ) = - ab sinfo' — ©) = ± - '/&.
D'où les théorèmes suivants :
Théorèmes d'Apollonius. — i" La somme des carrés de deux
diamètres conjugués est constante.
2° L'aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est constante.
Dans le cas de l'hyperbole, on a des propriétés analogues. Mais elles perdent une grande partie de leur intérêt du fait que, si M est réel. M' est imaginaire et inversement. Cela résulte, en effet, de ce que les diamètres conjugués sont conjugués harmoniques par rapport auv asymptotes et, par suite, sont l'un dans l'angle cpii comprend la courbe et l'autre dans l'angle qui ne la comprend pas.
Les formules (35), (36) eti 3j) subsistent, à condition dechangerœ <-n «çp, cp' en «V et b en ib.
Si l'on veut éviter les imaginaires, il suffit de considérer, en même temps cpie l'hyperbole proposée. X hyperbole conjuguée, qui se déduit
de la première par le changement de a en ici et <le // en ib I ' I ou, si l'on veut, par une homothétie imaginaire, de centre () et de rapporl i. (Iliaque diamètre est alors réel pour Tune des hyberboles el imaginaire pour l'autre.
Les formules ( 36) et (3~) subsistent sans modification, à condition de considérer les points M' et M'' comme appartenant à l'hyperbole conjuguée de celle qui passe par M. Il en est de même des théorèmes d Apollonius.
o'Si. Fo* ers, directrices. — Cherchons les foyers de la conique (C), en appliquant la méthode générale du n° olo. Il nous suffit pour cela d'identifier L'équation ( i i) avec ?n2-\-i = o, ce qui nous donne
xy = o, A — x- = B — r- .
Ce système admet le* deux solutions :
(38) y — o, x — = \/\ — B -— dz c ( 2 i :
( 3;i ) x = o, y = ± v B — A = ± ci.
Nous avons donc quatre foyers. Les deux premiers F et F' sont réels, situés sur Ox ( :J > et^ coïncident avec les foyers de la Géométrie. élémentaire. Les deux autres o et cp' sont imaginaires conjugués et >ilués sur Oy ('' ) { cf. n° olo i.
La directrice D relative au foyer F a pour équations < n" i32 )
ou
Calculons le rayon vecteur /■ = MF. dans le cas de l'ellipse. -Nous
(') Il revient au même de changer le siune du terme constant de l'équation, ou bien de changer x en ix et y en iy.
(-) Nous poserons dorénavant A — B = c;. La quantité c est réelle, en vertu de l'hypothèse A > B, faite au n° 529.
(3) C'est pourquoi l'a\e < )x est quelquefois appelé axe focal.
(4) Ce sont les centres des cercles de rayon nul passant par 1', F' ou bien encore les points de rencontre des cercles de rayon nul de centres F et I".
a\ ons
r- = ( x — ' - v"- = (a coso — c f2 — b- siu- * = a- cos2 9 — 2 «c ces ç — «2 — &'2 - b- sin - -^
= a2 cos- ç — icic cos 9 -+- a'2 — b- cos2 9 = c- cos2 '9 — 2 ac cos 9 — a2 = (c cos 9 — « i2.
D'où
r — a — c cos 9.
en remarquant que a > C C cosep, <>u rnlin
En changeant c en — c dans 1 ji 1, nous avons le deuxième rayon vecteur r = MF',
(42) r' = flH
( )n aperçoit immédiatement la relation
et l'on retrouve la propriété classique qui •-"•ri de définition élémentaire à l'ellipse.
La formule (41) peut s'écrire
Or, la parenthèse n'est autre, d'après | \o >. que la distance Ml' à l;i directrice D. On a-donc
MF c (44) MP = â = c = consL
On retrouve une autre propriété classique déjà démontrée au n" 518 et l'on obtient en même temps la formule qui donne l'excentricité.
Dans le cas de l'hyperbole, les formules 1 ji 1 et 1 \> | subsistent, au
.signe près. Si M appartient à la branche de droite, — a et l'on a
ex , ex
r = a, r = -a, r — r = ia.
ETUDE DES CONIQUES SUR LEURS EQUATIONS REDUITES. i5g
Si M appartient à la branche de gauche, — <^ a el I <>n a
ex , ex r = a — — ? r — — a , /• — /• = >.<i.
La formule (44 > subsiste sans modification.
03o. Propriétés focales des tangentes et normales. Il serait très facile de démontrer analjtiquement, avec les axes actuels, les propriétés locales des tangentes et normales. Nous considérerons seulement celles qui n'ont pas été établies au Chapitre précédent.
Théorème I. -- Le lieu des projections des foyers sur les tangentes est le cercle décrit sur V axe focal comme diamètre.
Soit P(x, y) un point quelconque du lieu. La perpendiculaire PT à FP menée par ce point a pour équation
(X — x ) ( x — c i -r- ( V — y ) y = < > ou
X(x — c) — Yy— [x(x — c)+y*] = o.
Exprimons qu'elle est tangente à la conique, c'est-à-dire que ses coordonnées x — c, y, — \x{x — c) +.)'"] satisfont à L'équation tangentielle (10) :
(45) A( x — c )'- -- By-— [x(x — c) -+-j^]* = o.
Nous obtenons une équation du quatrième degré, alors que nous attendons l'équation d'un cercle. Cela tient probablement à la présence d'une solution singulière (n° 59). Cherchons-la. Elle ne peut provenir que de la coïncidence des droites FP et PT. Comme ces droites sont rectangulaires, elles ne coïncident que >i elles sont isotropes. Or, cette condition peut être réalisée, car les droites isotropes issues de F sont tangentes à la conique. La solution singulière soupçonnée existe donc bien: elle est constituée par les droites isotropes du point F.
Il faut maintenant la mettre en évidence sur l'équation < {5 i et enlever le facteur correspondant, de manière qu'il ne reste que la solution véritable. A cet effet, portons l'origine des coordonnées
>6o CHAPITHE \xxv.
au point F| '). Notre équation devient
AX2 -f- BY2 — ( X2 + Y2 h- cX)2 = o
ou, en ordonnant par groupes homogènes,
AX2 + BY*— c*X* — ïcX(X»+ Y2j — (X--T- Y*;* = o.
Si l'on se rappelle maintenant que c2=À — B, on voit que les termes du second degré se réduisent à B(X.2-|-Y2). Finalement, X'--f-\ - est en facteur, conformément à nos prévisions géométriques. Supprimant ce facteur, il nous reste
X2-4-Y2-+-2cX — B = o
ou, en revenant aux anciens axes,
(x — c)'2 -hy-^r 2 c{x — c) — B = o, ou enfin, en remplaçant c- par A — - B, (46) x--t-y'2 — A = o.
Le lieu véritable est donc bien un cercle, de centre O et de rayon y/A = a. c. q. f. i>.
Théorème II. — Le produit des distances des foyers à une tangente quelconque est constant et réciproquement .
Cherchons l'enveloppe des droites A telles que le produit FP.F'P' de ses distances à F et à F soit constant et égal à K.
Soit
u x -+- vy -+- w = o,
l'équation de A. On a (n° 66)
