FP= MC + "'. FF
D'où
tr'2 — u-c-
u- -\- Vi
{' ) Même si l'on n'avait pas trouvé a priori la solution singulière, ce changement de coordonnées eût été naturel, car on voit tout de suite, sur l'équation ('|5), que le point F est un point double.
ETUDE DES CONIQUES SLR LEURS ÉQUATIONS RÉDUITES. 56l
Cette équation tst identique à (10), si Ton prend K = B. Le théorème est donc démontré.
o36. Comiques homo focales. — L'équation tangentielle générale des coniques homofoeales à (C) est (n° 0I6)
i j8 i A«2-t- Hv- — w%-t- X(m2-h c2 ) = o
ou
i ig) ( A — X )m2-j- (B -+- \)v- — w- = o.
Elle est identique à i \- >. si l'on pose K = B-f-A. On peut remonter de [ig) à L'équation ponctuelle :
laquelle aurait d'ailleurs pu être écrite directement, en remarquant simplement que la différence A — B doit demeurer constante pour tout le faisceau.
Les propriétés générales de ces coniques ont été énoncées au n'J 516. Nous allons seulement reprendre la suivante :
Théorème. — Par tout point P du plan passent deux coniques du faisceau : une ellipse et une hyperbole, qui se coupent à angle droit.
Vérifions-le sur l'équation (5o). Si {x, y) sont les coordonnées de P, cette équation donne les a des coniques cherchées. Or, elle est du second degré. 11 y a donc bien deux coniques passant par I*.
Elles sont réelles. En effet, nous avons le tableau de substitutions :
11 y a donc une racine a, comprise entre — A et — B et une racine A2 entre — B et -{-oo. A la première correspond une hyperbole et à la seconde une ellipse.
La condition d'orthogonalité s'écrit, en remarquant que les para-
ni
êtres directeurs de la normale à (5o) au point (x, y) sont
Haag. — Cour*, II. 36
Jb2 CHAPITRE XXXV
i Ah-X, i A-i-X2) ' i li - XOCB-i-Xj)
Or. si l'on remplace successivement, dans (5o >, /. par X, et Xj et si l'on retranche l'une de l'autre les équations obtenues, on obtient précisément l'égalité (5i), au facteur X, — X2 prés, qui est différent de zéro, d'après la discussion ci-dessus.
Les coniques homofocales constituent donc bien un réseau orthogonal.
537. Coordonnées elliptiques. — Dans l'étude de certaines questions de Géométrie, de Mécanique ou de Physique mathématique, il est commode de prendre les deux nombres Xj et X2 comme coordonnées du point P. On obtient ainsi le système dit des coordonnées elliptiques.
11 est intéressant de savoir exprimer a~, y en fonction de ces coordonnées. On y arrive très aisément par l'artifice suivant :
On a l'identité
car les racines du premier membre sont, par hypothèse, Xj et X2 et, d'autre part, si l'on chasse les dénominateurs, le coefficient de X2 est — i.
Ceci étant, multiplions les deux membres par A — X et remplaçons ensuite X par — A (cf. t. I, n° 216 I :
En multipliant par B — X et faisant X = — B, on trouve de même/2. Finalement, on a les formules
(53) ^t/lA+2!„ -■ r = l/(B + B-BrM-
De I identité (52), on peut déduire une foule d'autres relations intéressante?. Par exemple, dérivons (5a) par rapport àX, puis faisons X = X] ; nous obtenons (' )
, a -/.,;- (B-i-Xt)" (A-+-X,)(B
(') Dans le calcul du second membre, il suflit de prendre la dérivée du facteur /, — /,,. car les termes provenant de la dérivation des autres facteurs s'annulent tous pour /, = \.
538. Cercles focaux. — On appelle ainsi les c< rcles bitangents à la conique. Ils comprennent comme cas particulier* les foyers; d'où leur dénomination. La corde de contact de chacun d'eux doit être parallèle à l'un des avs. d'après le cas V du n° 48"» ( l). Nous avons donc deux familles de cercles focaux, ayant respectivement leurs centres sur Ox et sur Oy.
Étudions, par exemple, la première famille. L'équation générale des (•uniques bitangentes à ( C ) et admettant pour corde de contact A la droite x = y. est (n" oÛT i
Déterminons À pour que celte équation représente un cercle I
__A = ou ) .
Les coordonnées {x, y) de tout point M de i 1 1 i annulant lu première parenthèse de <5r) ). on voit tout de suite apparaître la propriété suivante :
La puissance de tout point de | C i par rapport à un cercle focal quelconque est un carré parfait.
Cette puissance est d'ailleurs éffale à — (x — y.)-, c'est-à-dire à ( — «MP ) ?
P étant la projection de AI sur A. Si. d'autre part, nous menons la tanpente MT au cercle, nous obtenons l'élégante relation
MT = - MP = e'.MP.
C'est une généralisation de la formule (44)» avec laquelle elle se confond, quand le rayon de (T) devient nul.
Si l'on considère un autre cercle focal (I") de la même famille, on a de m è m e
MT'= e.MP'.
D'où
MT-}- MT'= ei MP — MP') = e.PP'= const.,
si M est entre les deux cordes de contact, et
[MT— MT'| = e.PP' = const.,
si M' n'est pas entre ces cordes. C est la généralisation de la formule (43) et de la formule analogue relative à l'hyperbole. Signalons encore la propriété suivante :
L'axe radical de (Y) et de (F') est équidistant des cordes de contact A et \'.
Le point Éj l'infini de cette corde est un pùle double.
En effet, on obtient son équation en retranchant l'équation i 5j i de l'équation analogue relative à M" i, ce qui donne, après suppression du facteur a' — a.
On a des propriétés analogues pour les cercles qui onl leur centre sur Or.
o39. Ellipse coxsidékke comme projection d in cercle. — Soit l'ellipse ( E i
Au point m ( x. y), faisons correspondre le point Ml \. \ l défini par
Quand m décrit (E), M décrit le cercle i G l défini par L'équation
Ce cercle, décrit sur le grand axe de l'ellipse comme diamètre, porte le nom de cercle principal ou cercle ho mo graphique.
Si l'on pose- = cosQ, on voit sans peine que la transformation
définie par les formules | 5ç>) revient à faire tourner M de l'angle h autour de Ox pour le projeter ensuite en m sur xOy i ' ). Donc Vellipse peut être considérée comme la projection orthogonale de son cercle homo graphique, celui-ci ayant, au préalable, subi une rotation de Vangle 0 autour du diamètre \ \' .
On peut tirer de là une foule de propriétés et de constructions relatives à l'ellipse.
Tout d'abord, si l'on se reporte aux formules (4) et qu'on les compare avec (jg"), on obtient
X = a coso, Y = a si no.
Donc l'angle 0, anomalie excentrique du point m. n'est autre que l'angle (Oar, OM).
(') Cette transformation est une transformation homographique particulière; c'est inc lioinologie d'axe Ox et qui a son pôle à l'infini sur Oy in 105 .
ÉTUDE DES CONIQUES SLR LEURS ÉQU VTIONS RÉDUITES. "JC> 3
Ceci nous explique la formule (35 i. car deux diamètres conjugués de l'ellipse proviennent de la projection de deux diamètres conjugués du cercle, lesquels sont rectangulaires.
Tout problème relatif à l'ellipse a son homologue relativement au cercle liomographique et peut être résolu par les procédés élémentaires de Géométrie descriptive connus sous le nom de rabattement et de relèvement. Voici quelques exemples :
1. Intersection avec une droite. — Soit à chercher les points de rencontre de l'ellipse de grand axe AA' et de petit axe BB' avec la droite o {fi g. fi \ i.
Fig. 54.
Nous considérons cette droite comme la projection d'une droite A, du plan II, ('). Nous rabattons celle-ci en A sur le plan de figure IL Nous prenons les points de rencontre M et M' de A avec (G); puis no us les relevons en m et m' sur 0.
Si nous voulons la tangente en nt à l 'ellipse, nous menons la tangente en M au cercle et nous la relevons, en nous servant, par exemple, de son point de rencontre T avec la charnière Ox.
II. Tangentes issues d'un point donné. — • Soit p ce poinl {fig- 55). Nous le considérons comme la projection d'un point P, de II,. que nous rabattons en P sur 11. Par P, nons menons les tangentes PMT et PM'T' au cercle ; nous les relevons ensuite en pnit et pin t.
III. Tangentes parallèles à une direction donnée. — On consi-
(') Nous appelons ainsi le plan, déduit de xQy par rotation autour de Ox, clans lequel on doit amener le cercle homographique pour qu'il se projette sun.mt lcllipse.
dère celte direction o (fig. 56), comme la projection d'une direction A, de Il|. que l'on rabat ensuite en A sur IL On mène les tangentes au cercle parallèle à A et on les relève.
Signalons enfin une dernière application.
Uaire de l ellipse est égale à l'aire du cercle homographique multipliée par cosfy (n° 9^2 i, c'est-à-dire à— a-X. - =izab. On retrouve
ainsi une formule établie au Tome I (Ghap. \ï"\ , Exercice résolu n°5 ).
On pourrait la généraliser en projetant des secteurs ou segments circulaires; on obtiendrait l'aire du secteur ou du segment elliptique en fonction des anomalies excentriques des extrémités de L'arc limite.
54-0. DeSCRIPTIOX DE L'ELLIPSE Al MOYEN D OH SEGMENT DE DROlîl
de longuebr constante. — Soit un segment de droite PQ, de longueur constante et dont les extrémités décrivent deux droites rectangulaires Ox et O r. Quel est le lieu décrit par un quelconque de ses points M I fig. 07 1?
Posons QM = «, PM = b. Si nous appelons o l'angle de Ox
avecQP, les coordonnées du point M sont
x — a cos ç . ..>' = — 6 sino. Fi g. 57.
Donc, le lieu demandé est une ellipse, d'axes a suivant Ox et b suivant Or. Au signe près, l'angle ce est, à chaque instant, l'angle d'anomalie du point M.
Cette propriété est d'une application courante pour la construction graphique des ellipses. On marque les points P, Q, M sur le bord d'une bande de papier. Puis, on déplace celle-ci, de telle manière que P soit toujours sur Ox et Q sur Oy. Dans chaque position, on marque le point M avec la pointe d'un crayon. On a ainsi très rapidement autant de points qu'on veut et il ne reste plus qu'à les joindre par un trait continu.
Il est facile d'avoir la tangente en M. Eu effet, la normale passe par le centre instantané de rotation (t. III et Chap. XXXIX, Exercice résolu n" 1) correspondant a» mouvement de la figure invariable PMQ. Or, ce centre I se trouve aussi sur les perpendiculaires menées par P à Oaret par Q à Or. La construction est. dès lors, évidente {cf. n° o99 1.
On peut généraliser la propriété précédente (cf. n" o99). D'abord, il est évident, sur la démonstration même, qu'elle subsiste quelle que soit la position du point M sur la droite indéfinie PQ, pourvu que les distances PAI et QM demeurent constantes.
Cela posé, supposons que le point M ne soit plus assujetti à être sur PQ, mais simplement à former, avec ce segment, une figure invariable, qui sera généralement un triangle. Supposons, en outre, que les points P et Q soient simplement assujettis à décrire deux droites concourantes quelconques Ox et Oy 1 fig. 58). Je dis que le lieu de M est encore une ellipse.
Considérons, en effet, le cercle (C) circonscrit au triangle OPQ. II a un dia-
