PO

mètre constant égal à II constitue donc une figure invariable avec sa

si&xOy

cordeconstantePOet, par suite, aussi a\ec le trianglePQM. Joignons son centre w au point M et considérons les extrémités P'. Q' du diamètre ainsi obtenu. Ils font encore partie de la figure invariable. Les arcs P P et PQ' sont donc cons-

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tants et, par suite, aussi les angles inscrits POP' et POQ',. Il en résulte que le? droites OP' et OQ' sont fixes, soient Ox" et Or'. Elles sont d'ailleurs rectangu-

laires. Nous sommes donc ramenés au cas primitivement traité et le point M décrit une ellipse, dont les axes sont MQ' suivant Ox' et MP' suivant Oy.

La normale en M à cette ellipse passe par le point I, diamétralement opposé à O, sur (C).

oii . Propriétés spéciales oe l'hyperbole rel vtivemem a ses asymptotes. — Une hyperbole rapportée à ses asymptotes a une équation de la forme ( ■ >.

(Go) xy = k,

ce qui s'interprète géométriquement par le théorème suivant :

Théorème 1. — Le produit des dislances d'un point quelconque d une hyperbole à ses asymptotes est constant.

Dans l'équation (60), la distante à chaque asymptote est compter parallèlement à l'autre; mais on peut la compter parallèlement à une direction lixe quelconque; cela ne fait que modifier la valeur de la constante K. On peut, en particulier, prendre les distances orthogonales.

La réciproque du théorème est évidemment exacte, car toute équation de la forme (60) représente une hyperbole admettant les axes de coordonnées pour asymptotes.

Théorème II. — Une hyperbole et ses asymptotes interceptent sur toute droite du plan deux cordes qui ont même milieu.

(') Les axes sont directions asymptotiqu.es et l'origine est centre.

Cela résulte immédiatement de ce que le diamètre conjugué de cette droite est le même par rapport à l'hyperbole et par rapport aux asymptotes.

Cette propriété est utilisée pour construire V hyperbole quand on eji connaît les asymptotes et un point. Il suffit de mener par le point donné P une droite quelconque Pa, qui coupe les asymptotes en M et M' (fig. Sg). Puis, en porte M'P'= — MP. Le point P' appartient

Fi g. 59

à l'hyperbole. En faisant varier Pa, on obtient autant de points qu'on veut. Lorsque P' se confond avec P, la droite P A est la tangente en P. Donc :

Théorème III. — Toute tangente à l'hyperbole rencontre les asymptotes en deux points qui ont pou/- milieu le point de contact.

Ce théorème, qui est évidemment un cas particulier du précédent, donne une construction très simple de la tangente en un point donné P {fig. 5g). On mène PA parallèle à Ox; on porte AB = OA et l'on joint PB. Le segment BC a évidemment pour milieu P; la droite PB est donc tangente en P.

Théorème IV. — Si la droite Pa se déplace parallèlement à ellemême, le produit PM. PM' demeure constant.

En effet, prenons pour axes de coordonnées le diamètre O r parallèle à P), et le diamètre conjugué Ox. Notre hyperbole a pour équation (n° 465^

(') On a le signe -H ou le signe — suivant que Oy coupe ou ne coupe pas l'hyperbole.

Soient (a, ,3) les coordonnées de P. Les ordonnées des points M

et M' sont - a et — - a. On a donc a a

en se servant de ce que a. ji> vérifient (<>i |.

Le produit est bien constant et égal au carré du demi-diamètre parallèle à l'A.

Une application immédiate de ce théorème est la construction d<js points de rencontre de l'hyperbole avec une droite donnée D.

Soient, en effet, M et M' les points de rencontre de cette droite avec les asymptotes. Si P est un point de rencontre avec l'hyperbole, on connaît ( ' ) le produit PM. PM' et la différence algébrique