II. - PARABOLE

o-42. Tangentes. — Nous prenons l'axe de la parabole pour axe des x <-t la tangente au sommet pour axe des y. L'équation est alors

)'- — 1DT = (i.

La constante/? porte le nom de paramètre de la parabole.

Il est à remarquer que l'équation (62) est résoluble par rapport à ../ . de sorte que y peut jouer le rôle de paramètre rationnel, si l'on veut considérer la parabole comme une courbe unicursale.

La tangente au point Mi r. y) a pour équation

En identifiant avec on trouve

uX -+- v Y — w =0, w pv

En portant dans (62), nous obtenons ['équation tangentielle 1 ('){ 1 pv-— 1UW = o.

Si l'on se donne le coefficient angulaire m = — -> on tire de (64 )

Il y a donc une seule tangente de coefficient angulaire donné ( ' ) ; elle a pour équation

Y = mx

P im

Si, dans cette équation, on considère x et y comme les coordon-

(') Cela provient de ce que les deux tangentes issues d'un point à l'inflni comprennent toujours la droite de l'infini, de sorte qu'il ne reste plus qu'une tangente à •listance finie.

nées d'un point P donné, elle constitue Y équation aux coefficients angulaires des tangentes issues de ce point.

On pourrait discuter leur réalité. Bornons-nous, comme au n°530. à chercher leur condition d'orthogonalité. 11 suffit d'écrire que le produit des racines en m est égal à — i . ce qui donne

Nous -verrons (n° 546) que c'est là l'équation de la directrice. Donc :

Théorème. — Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une parabole est sa directrice.

Cette propriété est quelquefois commode pour trouver la directrice d'une parabole qui a une position quelconque dans le plan.

543. Normales. - L'équation de La normale au point M | a . r est

Si l'on fait \ =0, on obtient X — x=p. Donc ht sous-normale M'IN est constante et égale au paramètre.

Si l'on remplace les coordonnées courantes \, ^ par les coordonnées (#0, J'o ) d'un point donné P, on obtient l'équation

1681 xy -;- y(p — x0) — py0 z= o,

qui, avec ( 62), détermine les pieds des normales issues de P.

Celte équation représente une hyperbole équilatère, passant par P. admettant Ox pour asymptote et appelée hyperbole d' 'Apollonius du point P. Elle rencontre la parabole au point à l'infini sur O.r et en trois points à distance finie. Ces derniers donnent seuls de véritables normales (') et l'on peut énoncer le théorème suivant :

Théorème. — Par tout point P du plan, on peut mener trois

( ' ) Le point ;i l'infini donne comme normale la parallèle ;i <>.z-: cel.i tient à ce <]ue la perpendiculaire à la droite de l'infini est indéterminée ( nu 73).

normales à la parabole; leurs pieds sont à /intersection de celleci avec l'hyperbole d Apollonius de P.

Discutons la réalité de ces normales. Pour cela, formons l'équation aux r

des pieds des normales. Il suflît de remplacer, dans (6X), x par " — , ce qui donne

i (io, i

y "+■ '2P{ p ~~ x® \y — if '/n = °î

équation du troisième degré de la forme canonique. La condition de réalité des trois racines est donc (t. I. n° 26b I

i 70) s [, — x„ 13 — ''-pyl < o.

Pour l'interpréter, construisons la courbe iD) définie par l'équation

'71) Si p — X )3-t- 1~pj- = O.

Cette courbe est une cubique, admettant le point Ai/), 01 pour point de rebroussement et une brandie parabolique dans la direction Oy. Elle a la forme indiquée sur la figure 61 (*).

Fi g. G

Si, dans (701, on suppose xu = yv= o, l'inégalité n'est pas vérifiée. Donc :

Théorème. — Si le point P se trouve dans la région limitée par < D) qui comprend O, il n'y a qu'une seule normale réelle issue de ce point; s'il se trouve dans l'autre région, il y en a trois.

o44. Développée; centre de courbure, rayon de courbure. — Comme au ii° 53:2, la courbe 1 D 1 n'est autre que la développée de la parabole.

Cherchons les coordonnées du centre de courbure au point M(^r. )). A cet effet, nous écrivons l'équation (67) de la normale en

(') Elle coupe la parabole aux deux points (\p. ->p\>) et en quatre point? imaginaires.

fonction du seul paramètre y :

Dérivons par rapport ;"i r. pour avoir le point limite :

En portant X dans (72), nous obtenons ^ . Finalement; les coordonnées du centre de courbure sont

Si l'on éliminait entre elles j-, on retrouverait l'équation (71) de la courbe (Di.

Le rayon dé courbure s'obtienl en prenant la distance MC :

R!=('x-£!v+(Y-r)S=(V,H-r!y+r«cI+-gy=

d'où

formule qu'on peut aussi obtenir immédiatement au moyen de la formule (i3) du 11" 313.

On voit que. le rayon de courbure croit avec r. 'le/mis p. rayon <lc courbure au sommet, jusqu'à l'in/ini. rayon de courbure à l infini.

La construction du cercle de courbure donnée au u°o32 s applique sans aucune modification à la parabole.

54o. Diamètres. — Le diamètre conjugué de la direction de coefficient angulaire /// a pour équation 1 n" i63 >

Il coupe la parabole au point ()' ( -- — , — ). qui u'esl autre que le

' 1 1 im- m/ * l

point de contact de la tangente 1 65 1.

Prenons celte tangente pour axe O'y' et le diamètre pour axe Q'x'.

ÉTUDE DES CONIQUES SLR LEURS ÉQUATIONS RÉDUITES. fyS

Nous savons que la nouvelle équation de l;i parabole est de la forme

76 1- — ip ' x' '.

Nous laissons au lecteur le soin de le vérifier, à titre d'exercice, en faisant le changement de coordonnées: il trouvera que la valeur de /> est

en appelant a l'angle de Or avec Or.

Si, avec ces nouveaux axes, nous écrivons l'équation de la tangente au point Mi / . y 1, nous retombons sur l'équation (63), avec des lettres accentuées. Si nous taisons ensuite Y'=o, nous obtenons X' = — x' . D'où le théorème suivant :

Théorème. — La sous-tangente PT a pour milieu le point ()'.

C'est une généralisation d'une propriété élémentaire bien connue. Elle résulte d'ailleurs de ce (pie le point T a pour polaire MP (' > et.

par suite, est conjugué harmonique de P par rapport au point O' et au point à l'infini sur O' X1 1 fig. 62 1.

oi6. Foyer. — Écrivons que l'équation (65 1 se réduit a m2-\- 1 = o. Nous obtenons de suite les deux conditions

n (78) y = o, ar= '— j

qui nous donnent les coordonnées du foyer F. La directrice, qui

('j En effet, T se trouve sur la tangente en M et sur la polaire O' x' du point à infini de MP; il est donc bien le pùle de MP (n 440).

en est la polaire, a pour équation

Cherchons le lieu, de la projection de F sur MT. Il nous suffit d'éliminer m entre l'équation (65) et la suivante :

1 80 1 /// 1 ce - — - O,

ce qui donne, tous calculs faits,

On a la solution singulière constituée par les isotropes de F et la solution véritable constituée par la tangente au sommet et bien connue en Géométrie élémentaire.

347. Paraboles homofocales. — Cherchons les paraboles qui ont même axe et même foyer que la parabole (6a). Si X désigne le paramètre de lune

d'elles, son sommet a pour abscisse -■ Son équation est donc

ou

i8ii y- — 2À^-r-À'7' — X) = o.

Si l'on cherche l'équation tangentielle correspondante (n° 441 1, on trouve (82) \(u- — p2 1 - iuIw — u '—) -— o,

ce qui représente bien un faisceau tangentiel défini par les points cycliques, d'une part et par le point F et le point à l'infini sur Ox, d'autre part.

Par tout point P(a?, y) du plan passent deux paraboles du faisceau, dont les X sont donnés par l'équation du second degré i 81). Le produit des racines étant négatif, ces X sont toujours réels et «le signes contraires. Donc, les deux paraboles qui passent par P sont toujours réelles et ont leurs concavités tournées dans des sens opposés. Elles sont, en outre, orthogonales, car, d'après la formule (76), cette propriété se traduit par la condition

XiXj = — y*-, qui est bien satisfaite par les racines de (81).

En prenant ), et À2 comme coordonnées de P, on obtient un système de coordonnées curvilignes orthogonales analogue à celui du n° 537, mais moins intéressant, fl donne lieu aux formules

548. Cercles focaux. — Comme au n° 538, ce sont les cercles bitangents. II n'y en a qu'une famille, dont les centres sont sur Ox et <|ui ont pour équation générale

I 8 \ 1 )- — i.px -r- 1 X — a 12 = o.

Ils donnent li u à des propriétés analogues à celles du n° 538 et qui se démontrent de la même manière.

Haag, — Cours, II. 67