I. - QUADRIQUES A CENTRE UNIQUE

549. Forme bE l'équation réduite. — L'équation d .\nr quadrique à centre l'apportée à ses plans principaux esl de la forme 176

Laissanl de côté l'ellipsoïde imaginaire, nous | :is :

pour l'ellipsoïde :

A = tt-, B — A-. C = — r- a .

pour l'hyperboloïde à une nappe;

pour l'hyperboloïde à deux aappes.

Les formes de ces trois surfaces onl été étudié -s iux n0> loi à 5.>(>: nous n \ reviendrons pas, l< lecteur n'ayant qu'à supposer que les axes de coordonnées sont maintenant rectans

550. Plans tamgems; normales. -- L'équation il u plan tangent au point \l | ./ . ) . z) de la surface esl (n° 204)

\ ./■ \ ] /.z ~Â~ ~ b" " TT

Si on l'identifie a\ ec

(3) uX v \ n / /

ETUDE DES QUADRIQUES SLR LEURS EQUATIONS REDUITES. ~>7'>

on a

portant dans i i i, on obtient l'équation tangentielle de la surface : (4) A «2-+- Bp!+ G iv- — /•- = u

Parmi les différents problèmes qu'on peut ~e poser relativement au\ pians tangents, contentons-nous de résoudre le suivant, qui généralise celui du n" 530 :

Cherchons le lieu îles points d'où Von peut mener trois plans tangents formant un trièdre trirectangle.

Soient./-, i. s les coordonnées d'un tel point et soient trois plans tangents ' u, v, ir. r), i u' , v' . »•', /•'), '//'. c". u". /" i passant par ce point et deux à deux rectan gu laires. Nous avons

>) J ll'x -i- "'y -r- w' Z = — A .

f II X — e'i — w" z = — r'.

Elevons au carré et ajoutons, en supposant que les u, r, w sunt des cosinus directeurs et appliquant les relations qui existent entre les neuf cosinus d'un trièdre trirectangle i n" :>.'> |. Il vient, en tenant compte de i j .

Donc le lieu cherché est une splière. ' »n l'appelle sphère ortlwptique ou sphère <!<■ Monge.

Les équations de la normale an point M sonl

\ X— v. lit V — ; C(Z — z)

Cherchons les normales issues du point I* i /,,.;-,. z0). '1 suffil dv. remplacer, dans (6), \. Y, Z par x0, r0- -oj s' nous prenons pour inconnue auxiliaire la valeur commune /. des trois rapports, les coordonnées des pieds îles normales se calculent par les formules

A./-., \iye Cz

'/. étant, d'autre part, donné par l'équation

;")So CHAPITRE XXXVI.

Cette équation est du sixième degré. D'autre part, si l'on y substitue x. v, B, — C.+ oc, les résultais extrêmes sont négatifs el l'un au moins des résultats intermédiaires est positif. Il y a donc au moins deux racines réelles. Mais, nous ne pousserons pas plus loin la discussion et nous nous contenterons d'énoncer le théorème suivant :

Théorème. — Par tout point P de l'espace, on peut abaisser six normales sur une quadrique à centre ; deux au moins sont réelles.

Si. dans les formules (-) on regarde a comme un paramètre variable. on a les équations paramétriques d'une cubique gauche, qui porte le nom de cubique de Chasles ou cubique aux pieds des normales ; elle rencontre la quadrique aux pieds des six normales issues de P. Elle passe par P, par O et par les points à l'infini sur les axes. Elle joue le même rôle que l'hyperbole d'Apollonius en Géométrie [ilanc i n" 531 ).

Le cône qui a pour sommet le point Pet pour directrice la cubique de Chasles esl du second degré (n° 37-; |. Donc :

Théorème. — Les six normales abaissées du point P sont sur un même cône du second degré.

Ce cône est appelé cône des normales (cf. Chap. \ WIN , Exercice résolu n" ' i.