Diamètres. Soil un diamètre OÀ, de cosinus direc
teurs (a, [j, y). Si 2a désigne sa longueur, les coordonnées d'une de ses extrémités sont c-y.. pt3, pv. En écrivanl qu'elles satisfont à l'équn-
tion ( i ), on 8
Le diamètre e-t réel ou imaginaire, suivant que le second membre e>i positif ou négatif. En se reportant aux différentes hypothèses envisagées au n" 549, sur les signes de.V.B, C, on voit facilement que tous les diamètres de l'ellipsoïde sont réels; ceux de 1 11( sont réels quand ils sont extérieurs au cône asymptote: ceux de IIP sont réels quand ils sont intérieurs au cône asymptote. Ces propriétés son! d ailleurs évidentes, quand on se rappelle la forme de chaque surface.
Considérons trois diamètres OÀ. OX\ O À" formant un dièdre trireclangle. Soient p. p', p" leurs demi-longueurs. Ecrivons les trois équations analogues à (9) et ajoutons. Nous obtenons, en tenant compte des relations entre les neuf cosinus (n° 35),
Donc, la somme des carrés des inverses de trois diamètres deux à deux rectangulaires est constante.
552. Soient trois diamètres conjugués OM. OM', OM" d'un ellipsoïde.
Appelons (x. y, z). (ce', y', z'). (x".y". z") les coordonnées de leurs extrémités
M. M'. W. On a
Tï ■+- T =»i 0- r-'
et les relations qui s'en déduisent par permutations circulaires des accents. Posons
et les formules analogues accentuées. D'après (11) et (12), les neuf quantités a,
[3 y" peuvent être considérées comme les neuf cosinus d'un trièdre trirec-
tangle (n° 35). Appliquons-leur les di\erses relations qui existent entre ces neuf cosinus. t
Nous avons d'abord
ou. d'après i'l3),
On a des égalités analogues pour y et pour z. En les ajoutant membre à membre, il vient
MM"— OM'" -+- OM"" = ai-hb*-+c\
Écrixons ensuite que le déterminant des neuf cosinus est égal à i. Gela nous donne
06) x' y' z' = abc
x" y" z" ou. d'après le n° 93.
(17) voiume OMM'M'= — .
Vous «avons enfin que chaque mineur du déterminant est égal à l'élément correspondant. Par exemple.
(iK) y'z-ïy-bi
bc x i a
bc x
Le premier membre est égal au double de l'aire de la projection >, du triangle OM'M" sur vOs i n 82 i: on a donc
I te même,
Élevons au carré et ajoutons; il vient, en tenant compte de iij ,
I te même,
Ajoutons ces trois égalités membre à membre, en tenant compte de la foimule (42) du n° 92; il vient
(19) aire OM'M" + aire OM'M -i-aireOMM' =
Les formules (i5), (17) et (19 l permettent d'énoncer le théorème suivant :
Théorème {d'Apollonius). — Si Von considère le parallélépipède construit sur trois diamètres conjugués d'un ellipsoïde, la somme des carres des arêtes, la somme des carrés des aires des faces et le volume sont trois quantités constantes.
553. Plans "cycliques; ombilics. Les plans cycliques réels sonl donnés 1 w" i80 1 par l'équation
•mm — b- '-. 7=; Si X- -+- 1- - - 52 l = 0,
011 S désigne la racine moyenne de 1 équation en S.
< us de V ellipsoïde . D'après les conventions faites au a'
ÉTUDE DES Ql'ADRIQUES SIR LEURS ÉQUATIONS RÉDUITES. 58'i
la racine moyenne est -^ et les plans cycliques son!
on
Géométriquement, il esl évident que ce sont les plans passanl par Or el par les diamètres communs à l'ellipse du plan des zx et au cercle concentrique de rayon h.
Il y a quatre plans tangents cycliques réels; leurs quatre points de contact sont quatre ombilics, en vertu du théorème II <lu n° 342.
Cas des hyperboloïdes. — La racine moyenne de l'équation en S esl — ; d ou 1 équation
Ils peuvent être définis géométriquement comme ci-dessus. Il n'y a pas d'ombilics réels, dans le cas de Y hyperboloïde à nue nappe ('); il y en a quatre dans le cas de V hyperboloïde à deux
nappes.
554. Foyers. — Aux nos 521 à 5"27, nous avons donné la définition et étudié géométriquement les propriétés générales des foyers des quadriques. On pourrait reprendre entièrement la question par le calcul, en partant de l'équation (i). Nous conseillons au lecteur de le faire, à titre d'exercice i'2). Nous nous contenterons ici de chercher les équations des focales de la quadrique (i), en nous appuyant sur ce qui a été vu au n° 522.
L'équation tangentielle du faisceau défini par cette quadrique et par le cercle de l'infini est
( i'\) A u- -+- B e2-+- C <cJ — /■--{- X( U--+- v--h w2) = o.
(') C'est évident a prinii, car tout plan tangent coupe cette surface suivant deux droite* réelles ( n° 556 i.
( ' ) Cf. n° 582.
En annulant le discriminant, on voit que les trois focales sont obtenues pour
el
Faisons, par exemple, X = — C; l'équation (23 ) devient (24) ( a — G) m«+ (B — È>«— f2 = o.
Elle représente une conique du plan des xy, qui a pour équation ponctuelle, ce plan.
Par permutations circulaires, on obtiendrait lés deux autres focales et il serait facile de vérifier ensuite, par le calcul, toutes les propriétés établies géométriquement aux nos 522 à 525.
555. QuADRIQUES homofocales. — Ees quadriques qui admettent mêmes foyers que la quadrique (r) sont celles du faisceau tangentiel (23). Leur équation ponctuelle est
Sur cette équation, on peut vérifier les propriétés générales établies au n°525. G'est ainsi que, l'équation (26) étant du troisième degré en À, par tout point Mi ./•, y, z) de V espace passent trois quadriques du faisceau.
Elles sont d'ailleurs réelles. Supposons, en efl'et, pour fixer les idées. A>B > C. On a les résultats de substitution suivants :
G -+- S + ac y. — 1
On a donc bien trois racines réelles À,, À... X3, respectivement comprises
entre . A et — B, — B et — G, — G et -4- x, et auxquelles correspondent un
hyperboloïde à deux nappes, d'axe transverse Or, un byperboloïde à une nappe, d'axe non transverse O; et un ellipsoïde réel.
En procédant comme au n° 536, on peut vérifier que ces surfaces sont deux à deux orthogonales.
On peut aussi prendre les trois nombres Àl5 X,, X3 comme coordonnées du point M; on obtient ainsi le système des coordonnées elliptiques dans l'espace. En identifiant la fraction rationnelle (26) en X avec
(X, — XK>-2— aHX3— à) (A-i-X)(B-f-X)(C-i-X) '
ÉTUDK DES QLADRIQUES SLR LEURS ÉQUATIONS RÉDUITES. 585
on obtient, comme au n" 537, les formules
)(A + Xâ
t-BKC
)(C+XS
006. Génératrices rectil ignés. — L'ellipsoïde el l'hyperboloïde ;i deux nappes ont leurs génératrices imaginaires, car le premier membre <le leur équation comprend trois carrés de même signe I cf. n° H8. Remarque II). On peut aussi le voir en remarquant que toutes les sections planes de l'ellipsoïde sont des ellipses: quant à celles de llivperboloïde à deux nappes, elles peuvent être des hyperboles; mais les sections par les plans tangents sont toujours du genre ellipse.
Pour l'hyperboloïde à une nappe, au contraire, les génératrices sont réelles. Pour cette surface, l'équation (i) peut, en effet, se mettre sous la forme (28 ) et, par suite, sous la forme ( 27 > du n° -446. Développons les calculs :
ou
D'où les deux systèmes ( ' ) de génératrices :
(') Ils sont symétriques lun de l'autre par rapport à O. O.rr, Oyz, Ozx. comme
1 1 on !e voit en changeant u en — c. en -■> en 1 en v.
58f> CHAPITRE XXXVI.
D'après le théorème IV du n° 147, nous savons que ces deux droites se rencontrent, quels que soient a et v. A érifions-le en calculant les coordonnées du point de rencontre.
En retranchant membre à membre l'une ou l'autre des équations (Il > de l'équation (I) de même rang, on obtient la même valeur de v. à
savoir
Ceci nous prouve déjà que les équations sont compatibles. Portons maintenant la valeur trouvée dans les équations (I) :
Par addition et soustraction, on en tire x el z. On a finalement
les formules
