OU = 0A + AU

Si nous observons que OA sur Ou. est le deuxième cosinus directeur de OÀ dans le plan O z-]x et que, d'autre part, 8 est, dans ce plan, l'angle polaire de OA, nous avons, d'après un calcul déjà fait (n° 29),

OÂ - sin6.

Dès lors, les projections de (20) donnent

a = OA costp = «in6 coscp, b = OA sintp = sin6 sincp, c = cosO.

Les cosinus directeurs de la demi-droite d'angles polaires (cp, 8)

sont :

sinôcosç), sin6 sincp, cosô.

C'est encore là un résultat à retenir par cœur.

Remarque. — 11 est quelquefois commode d'introduire la latitude A

qui est l'angle \0u., OaJ, le plan étant orienté deO[Ji vers O:. On a Haag. — Cours II. 3

en observant que H n'est plus mesuré avec le même sens positif. Les cosinus directeurs de O A sont alors

cosXcoso, COsXsintp, sinA.

31. Angle de deux demi-droites. — Soient Oa et O).', de cosinus directeurs respectifs (or, b, c) et (a', b' ', c'). Appelons V leur angle. Cet angle se trouvant dans un plan non orienté, son cosinus est seul déterminé sans ambiguïté (n" 15). C'est ce cosinus que nous allons calculer.

A cet effet, projetons orthogonalement le vecteur unitaire de 0\ sur Oa, en nous rappelant que ce vecteur a pour composantes a, b, c suivant les axes (n° 22). En appliquant le théorème des projections (n° 18), le théorème fondamental (n° 19) et nous souvenant que les angles que fait Oa' avec O.r, Oy, Oz ont pour cosinus respectifs a', b , c ', nous avons

(■2i) cos V = aa' -+- bb' -+- ce',

formule très importante à retenir par cœur.

Condition cC orthogonalilê. — On l'obtient évidemment en annulant cosV :

(22) aa' -+- bb' -\- ce' = o.

Cette condition garde la même forme quand on substitue aux cosinus directeurs des paramètres directeurs, qui leur sont proportionnels (n° 25).

3î2. Changement de coordonnées. — Etant donnés le tnèdre Qxyz et un autre trièdre O'x'y'z' défini par rapport au premier, tout point M de l'espace possède deux systèmes de coordonnées : les anciennes x,y,z, relatives à Oxyz et les nouvelles x\ y\ z' relatives à O' x'y ' z'. Nous nous proposons d'établir les formules qui permettent de passer de chaque système à l'autre.

Il faut d'abord définir le nouveau trièdre par rapport à l'ancien. A cet effet, nous nous donnons les coordonnées x0, y0, z0 de O' et les

paramètres directeurs unitaires (n° 25) a, 6, c de O x\ a', b\ c' de O'y, a", 6", c" de 0'«' par rapport à Oxyz.

Gela posé, essayons par exemple dé calculer .r, y, s en fonction

dex',y',z'.

Pour avoir a?, on doit projeter OM sur Ox parallèlement à yOz. Mais, on a l'égalité géométrique (n" 22)

(23j QM = ÔQ'-hx'-hy-+-z'.

Projetons-la sur Ox parallèlement à yOz. La projection de OM

est x. Celle de 00' est x0. Celle de x' est égale à x' multiplié par la projection du vecteur unitaire de O' x' sur Or parallèlement kyOz, c'est-à-dire par le premier paramètre directeur a de O' x' . Les projections de r' et de s' sont, de même, y' a' et z'a". Finalement, nous

avons

x = x0 -+- ax1 '•+■ a'j-'-f- a"-s'.

En permutant circulai rement les lettres #, y, z et a, b, c, nous aurons y et z) de sorte que nous pouvons écrire les formules du changement de coordonnées :

i x = x0-h ax'-t- a' y' -h a" z ,

{•i4) < r = ro-hbx'+ b'y'-h b"z',

\ z = z0-+- ex' -h c'y' -h c" z' ,

qui sont encore à retenir par cœur.

Elles donnent les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles. Si l'on voulait les nouvelles en fonctions des anciennes, il suffirait de résoudre le système (24) par rapport à x' ', y', z' . Le déterminant \\a a' a"\\ est nécessairement différent de zéro, car on doit pouvoir tout aussi bien calculer x', y1 ', z' en fonctions de x, )', z que X, y, z en fonction de x\y\ z' .

Remarque. — On aura les formules correspondantes de la Géométrie plane , en faisant 'z =-z'= c = c' = c" = a" = b" = o, soit donc

I x = ,r0-\- ax'-h a' y', / Y = 7o + bx 4- b y .

33. C\s particuliers. — I. Les nouveaux axes sont 'parallèles aux premiers ('). — Les formules (24) se réduisent visiblement à

(26) x = x0-)-x', y =y*-±-y\ z = zo-t- z',

formules qu'on pourrait établir très rapidement en projetant sur les axes (anciens ou nouveaux) l'égalité géométrique