Plans tangents; normales. Le plan tangent au point
M / . 1 . s ;• pour équat ion
1 3") 1 — i (X-4-ar) = o.
588 CHAPITRE XWVI.
En identifianl avec le plan i 3 >, on ;i
X = — i y — — p —, tz — — '/— •
Portant dans (34 ), on obtient Yéquation tangentielle
, 16 i pi- -+- zqu- — ■> m = O.
Elle est satisfaite pour u = v = w = o ; on vérifie ainsi que le paraboloïde est tangent au plan de l'infini I n" -468 ).
Cherchons le lieu des points d'où l'nn peut mener trois plans tancent* rectangulaires. A cet «lier, nous écrivons les équations (5); puis, nous multiplions la première par u. la seconde par u '. la troisième par u" el nous ajoutons; il vient, en tenant compte de (36 i el des relations entre les neuf cosinus.
Le lieu cherché est donc un plan perpendiculaire à l'axe; on l'appelle plan orthoptique ou plan de Monge. Dans le cas particulier du paraboloïde équilatère (p=.Ç, e = — i), il se confond avec le plan tangent au sommet.
Les équations de la normale au point M sont X — x p ( Y — y) i'//.
Cherchons les normales issues du point Pijrv ,i'-r ",. »• En remplaçant, dans les équations ci-dessus, \. ^ . Z par.r0, r0. z0 et prenant pour inconnue auxiliaire X la valeur commune des trois rapports, on voit (jue les pieds des normales sont donnés par le> foi mules
p -H A q -+- EÀ '
X étant donné par l'équation du cinquième degré
( jo) Py\ „ ■+- E<yJ' , - 21 *„ + >. « = ...
' | p — A !- 1 q -+- II.)-
D où le théorème suivant :
Théorème. - Par tout point P de l'espace, ou peut mener cinq normales à un paraboloïde: dont une au moins est réelle.
ÉTUDE DES QUADRIQUES SIR LEURS ÉQUATIONS RÉDUITES. 5Si)
Si, dans les équations (3g), on regarde "a comme un paramètre variable, on a les équations paramétriques d'une cubique gauche, qui passe par P et par les points à Finlini sur les axes. Taxe des x •'•tant, en outre, une asymptote. Elle coupe le paraboloïde aux cinq pieds des normales cherchées, le sixième point de rencontre étanl Le point à l'infini sur Ox. Elle porte le nom de cubique aux pieds des normales ou cubique de Chasles.
Le cône qui a pour sommet I' et pour directrice cette cubique est du second degré (n° 379); il contient les cinq normales issues de P et la parallèle à Ox menée par ce point ; il porte le nom de cône des normales.
oo9. Plans cycliques: ombilics. — Les plans cycliques réels sont donnés ( n° 480) par
v~ z* c / « (il) : h S > (x- -+- y- -I- Z2 ) = o,
S désignant la racine moyenne de l'équation en S. dont les trois
racines sont -> — > o.
P q Dans le cas du paraboloïde hyperbolique, la racine moyenne est
zéro; les plans cycliques sont parallèles aux plans directeurs. Chacun deux coupe la 'surface suivant une droite à l'infini et une droite à distance finie. Une telle section peut être considérée comme un cercle, en ce sens qu'elle est du second degré et passe parles points cycliques. Mais, en réalité, il n'y a pas de cercles sur le paraboloïde hyperbolique; ce qui pouvait d'ailleurs être prévu, puisque toutes les sections planes de cette surface sont des paraboles ou des hyperboles i n" 160 ). Passons au paraboloïde elliptique. La racine moyenne de l'équation en S est — » en supposant, pour fixer les idées, p > q. Les plans cycliques sont
php
Vf
Il leur correspond deux ombilics, puisqu'il existe un seul plan tangent parallèle à un plan donné.
'")■• I II \l'l I Itl \\\\ I.
560. Se» lio.\s vi \\i>ni PARAbOLOÏnE de révolution. Les sections planes 'lu paraboloïde de révolution jouissent <l une propriété remarquable que nous allons mettre en évidence.
Prenant I axe de révolution pour axe des z el !<■ plan tangent au sommet pour plan des m . l'équation <lu paraboloïde esl
, i i ./■- i - ipz.
( loupons par le plan
\<hi» supposerons le plan non parallèle à < ):. ^<>n w o. En éliminanl ^ entre ces deux équations, nous obtenons l'équation de la projection de la section sur le plan des xy :
( elle pi ojection est donc un cercle Y.
Réciproquement, l'équation d'un cercle quelconque peul être i < I » -ntifiée avec i [6), en choisissant convenablement u. r. w. r. Donc, tout cercle du plan des xy est la projection d'une sec/ion plane.
Ces deux propriétés sont, du reste, facile à établir géométriquement.
En effet, soit P le point à l'infini sur O-s. La section du paraboloïde par le plan de I infini se compose des deux tangentes PI el PJ menées par P au cercle imaginaire de l'infini i n° 17!)).
Cela posé, le cylindre projetant nne section plane quelconque coupe le plan de l'infini suivant PI, PJ {cf. Chap. \\l\. Exercice proposé n" ^9 1. Il esl donc de révolution autour d'un axe parallèle à Os. Réciproquement, tout cylindre de révolution parallèle à Oz passe par les droites PI, i'.l el a, par conséquent, nue conique commune avec le paraboloïde; il s'ensuil qu'il ci upe celui-ci sui\anl une deuxième conique i n" 489 , c. o. F. i>.
En introduisant le pôle du plan sécant, on établit, entre les cercles «lu plan i les points de l'espace, une correspondance qui jouit de propriétés fort élégantes cf. Exercice proposé n" 34 .
561. Foveus. !-'■ faisceau tangentiel défini par le paraboloïde (36 j et par le cercle de l'infini a pour équation tangenticlle
, - pv ■ : yu - 2 /'/' - . ■ //-' I -n : , = o.
Annulant le discriminant, non- obtenons les / des focales
'/. = — p, "/. = icj.
BTUUE DBS Ql IDBIQl'ER SUR LEURS i '.>" ITIONfi itlhii
Pour î - /-. l'équal i<>n i 47 1 <le\ ienl
' j.s 1 pu- y p)u • 11 r ...
équation tangentielle d'une parabole du plan des zx, dont l'équation | >• >n «• -
turlle. dans re plan, esl
En < hangeanl ^ en y ei /< en y. on a. de même, I équation de I 1 focale 'In
plan île- xy
p)(x-s-fj
Sur ces équations, il esl Facile '!>• vérilier les propriétés 'In n 526. L'équation 17 esl l'équation tangentielle 'l<;- paraboloïdes homoj .m paraboloïde proposé. I^eur équation ponctuelle s'en déduit,
Par toui point P(x,y,z) passent 1 1 < • i -■ par 1l1.1l1.nlc- réels .lu faisceau, .l'un les '/ -'.ut séparés pai les deux nombres — n ei .y. Le premier (Xj — /> 1 esl un paraboloïde elliptique concave vers les a: négatifs. I.'- second 1 — /' >.j — : y esl un paraboloïde hyperbolique. \a troisième y esl un paraboloïde elliptique concave vers les
positifs.
« » 1 1 peul prendre les nombres i 1 . /. :, / , pour coordonnées 'lu poinl I'. On obtient le système il'-- coordonnée s paraboliques \ moins u-ii<- que celui des coordonnées elliptiques. Il donne lieu aux formules suivantes, que le lecteur établira par une méthode analogue ■< celle employée au n '■<>' el où nous avons remplacé 1 par • 1 :
ooz. Génératrices rectilig.nes. Elles ne -"lit réelles que sur l< |..n aboloïde li \ perbolique.
jf)2 CHAI'. XXXVI. — ETUDE DFS QUADRIQL'ES SLR LEURS EQUATIONS REDUITES.
Ecrivons l'équation de ce dernier sous la forme
\'l> vV \yfp y/qj Les deux systèmes <l<- génératrices ont pour équations respectives
(i) Up fi
(il) '^ ^"
On voit quV//cs sont respectivement parallèles aux deux plans de directions asymptotiques, lesquels sont appelés, pour celle raison, les plans directeurs. Lorsque ces plans son! perpendiculaires, le paraboloïde est dil équilatère.
Le point de rencontre M de la génératrice (m) et de la génératrice (c) a pour coordonnées
i ">4 i x — iuv, y = dp{ u-^-v), z = v ' q( u — c).
Leur plan, c'est-à-dire le plan tangent en M, a pour équation
Le plan asymptote de la génératrice (m) esl obtenu pour p = oo, ce qui donne
I il i l -^— H =2(C
c'est le plan parallèle au plan directeur du système (u).
LES CONIQUES CONSIDÉRÉES COMME COURBES UNICURSALES ; RAPPORT ANHARMOMQUE, HOMOGRAPHIE.
563. Equations paramétriques du second degré. — Nous savons (n° ï26o) que toute courbe du second degré esl une courbe unicursale. Si x, r, -^ sont les coordonnées homogènes d'un point quelconque, elles peuvent s'exprimer, en fonction du paramètre t. >ous la forme
in ~/.x — at-->r- ibt
'/. y = a' t- — ib' t — c ,
/,; = a'' t'2 -t- ib" t
où /, désigne le facteur arbitraire de proportionnalité.
Réciproquement, des équations de cette forme définissent toujours une conique, sous la seule condition
En effet, si nous coupons par la droite (3) ux -f- vy -h wz = o,
nous obtenons l'équation du second degré
en posant
(5) A = au -r a v — a"iv,
bu -+- b' (
CU -r- C V + C IV.
Il y a donc deux points d'intersection et la courbe est du second degré. Elle ne peut d'ailleurs pas dégénérer, car, si elle comprenait une droite, l'équation (4) serait, pour cette droite, vérifiée identiquement; autrement dit, A, B, C seraient nuls pour des valeurs non Haag. — Cours, II. 38
5q4 chapitre xxxvh.
nulles de //. r, w et, par conséquent, A le serait aussi, contrairement à l'hypothèse (2).
Quand une conique est définie par des équations de la forme (1), il n'y a aucune difficulté à en faire l'étude complète. On peut calculer son équation ponctuelle en éliminant / et a entre les équation- (1). On obtient immédiatement son équation tangentielle
161 AG lP-=o,
en écrivant que l'équation 1 \ \ a une racine double.
On a son genre ( n° 460 ), en la coupant par la droite de l'infini. On peut la construire, en appliquant la méthode générale des n0' 2f2 à 246. On peut déterminer ses éléments remarquables (centre, foyers, sommets, axes, etc.), soit en se servant de l'équation tangentielle (6)3 soit par des méthodes directes obtenues en exprimant les propriétés caractéristiques de ces éléments.
Enfin, on peut étudier la conique au point de vue spécial envisagé au n° 267 et découvrir, de la sorte, des propriétés intéressantes. C'est ce que nous allons faire d'une façon sommaire, mais sur des équations réduites.
564. Equations paramétriques réduites. — D'après (2), les trois points A = o. B=o, C = o
ne sont pas en ligne droite. Nous pouvons donc les prendre pour sommet- du triangle de référence. Gela se traduit par les conditions
En choisissant convenablement le point unitaire, nous pouvons, en outre, supposer
car aucun de ces coefficients ne peut être nul, d'après (2). Les équations (1) prennent alors la forme très simple
(7) '>.<■ =t\ \y = it, \z = i.
Nous les appellerons équations paramétriques réduites. L'équation (6) devient
uw — v* = o,
