LES CONIQUES CONSIDÉRÉES COMME COURBES UNICURSALES. M
et l'équation ponctuelle s'écrit
Toutes deux montrent que la conique est tangente en A à BA et en G à JiC (n° 507).
Avant d'aller plus loin, nous ferons remarquer que les points A et C peuvent être considérés connue deux points quelconques de la conique. Ils sont, en effet, caractérisés, dans la représentation paramétrique dont nous sommes partis, par les conditions t\=x, t(-. = o. Or, si nous voulons prendre, pour points A et C, deux points quelconques A' et G' de paramètres actuels tt et f-2, il suffit de faire sur t la substitution homographique
do) ''=^7'
qui ne change pas la forme générale des équations (1) et donne Z'=*j, pour / = <! et t' = o , pour t =■ t2.
Avec les équations réduites (7), l'équation (4) devient
ut'1 4-2W+ w = o.
Si l'on introduit les fonctions symétriques élémentaires des racines
iv w
ti-hh= , tit2— -,
on voit que la conle MiMj a pour équation
, . ti -f- 1,
(il) X r^ V -- 1 I toZ =0.
La tangente en M s'obtient en faisant t\*=- <s?= t : (12) x — ty -t- t- z = o,
36d. Piu>poivt anharmonique. — Nous appellerons rapport anharmonique de quatre points M,, M3, M3, M., de la conique le rapport anharinonique (/, t2t:it;) de leurs paramètres.
Cette définition est indépendante du choix de la représentation paramétrique, pourvu qu'elle soit rationnelle et propre (n° 26i), car on passe de l'une à l'autre par une substitution homographique telle que (10), ce qui ne change pas, comme on sait, le rapport anharmonique (t. I, n° 322).
Au reste, il est facile d'en donner une interprétation géométrique. Joignons un point M quelconque de la conique aux quatre points Mt-.
La droite MM; a pour équation, d'après (i i),
(13) *^ + ^ZJ=0.
Elle est linéaire en £,-; donc, A? rapport anharmonique du faisceau M(M, Ar2^NI3 ÎNI,) est égal, quel que soit M, au rapport anharmonique ( tt t-^t^tf,), c'est-à-dire au raoport anharmonique des quatre points AI,, Al2, M3, M*.
Le même rapport est aussi appelé rapport anharmonique des quatre tangentes T,, T2, T3, T-,, aux points AI,. AI2. M3, AL,. On peut en donner une interprétation géométrique corrélative de la précédente, en considérant les points de rencontre Vide ces tangentes avec une tangenteT quelconque. D'après l'équation (12), la droite AP/ a pour équation, après suppression du facteur / — t;,
jr-(t-h tl)z=o.
Elle est linéaire en /,-; donc
(/, tif,t.t) = A( P, P2 P:J Pv) = (F, PSP3P4).
066. Divisiojns holographiques. — Nous dirons que deux points: variables AI et M' décrivent, sur la conique, des divisions hotnographiques. si leurs paramètres t et t sont liés par une relation hom ograph ique
04) a// '-4- rpt -+- y/'-i-G =0.
Cette définition est indépendante du choix de la représentai ion paramétrique, car la relation (i4) ne change pas de forme, quand on l'ail une même substitution homographique sur / et /'.
On dit aussi que les tangentes T et T' en AI et M' sont en correspondance homographique.
F. es propriétés établies aux nos 136 et suivants s'appliquent encore à ces nouvelles définitions.
Le rapoort an harmonique de quatre points AI (ou tatigenlesT) est égal au rapport anharmonique des quatre points M i ou tangentes T) homologues.
Il existe deux points (ou tangentes) doubles dont les l sont ravines de V équation
(i5) xt* h(f +71/ + 0 =0.
LES CONIQUES CONSIDEREES GOMME COURBES UNICURSALES. '>\i~
Prenons ces points doubles pour points A et C. Autrement dit. faisons sur / et t' une substitution homographîque telle que les racines de (i5) deviennent x et o. La relation (i4) prend alors la forme ( ' |
06) t'=kt.
Au théorème II du n° 139, correspond le sui\ant :
Théorème I. — Le rapport anharmonique i ACM.M | est constant .
Ce rapport est d'ailleurs égal à (oc, o, t, kt ) = k.
On a évidemment le même théorème sur les tangentes.
Théorème II. — Etant donnes deuc points quelconques Ml5 M2 et les deux points homologues M', , M'2, les deux cordes M{ M', et M, M, se coupent sur la corde des points doubles AC.
En effet, les équations de ces cordes sont respectivement, d après (il) et(i6),
./• ■ y + k t{ ta z — o,
t,+-kt{ .
x y -+- ktoti z = o.
En les retranchant, on obtient j' = o, c'est-à-dire l'équation de AC. Gela démontre !<• théorème.
TheorÈmk III. — Les droites BM et BM' décrivent deux faisceaux honxographiques de rayons doubles BA et BC.
En effet, la droite BM a pour équation
D'autre part, on a t'-=k*t-, relation homographîque entre t* et /2, dont les valeurs doubles sont -x et o. Cela démontre la proposition.
Théorème IV. — La droite MM' enveloppe une conique bitangejite à la proposée aux points doubles A et C.
En effet, d'après (n) el(i6), l'équation de MM' est
' -+- * (17) x — / y -1- kt2 z =0.
(*) Ceci est en défaut si les points doubles sont confondus. Dans ce cas, si l'on prend le point double pour point A, la relation 04) devient /' = t — k. Nous laissons au lecteur le soin d'étudiei- à part ce cas particulier, qu'on peut d'ailleurs considérer comme cas limite du cas général, en supposant que les points A et C se rapprochent indéfiniment.
Son enveloppe a pour équation
• l'est bien une conique tangente en A à BA. et en C à lîC.
567. Divisions ex involution. — On dit que les divisions M et M' sont en involution, quand la relation (141 est involutive. c'est-à-dire symétrique par rapport à t, t'. Pour la relation (16). ceci se traduit par la condition k = — 1.
Dans ce cas, l'équation (17) se réduit à
Donc :
Théorème V. — Si les divisions M et M' sont en involution. la corde MM passe par un point fixe, qui est le pôle B de la corde des points doubles.
On dit que les points M et M' sont en correspondance biejuadratique et involutive, si l'on a, entre t et t'. une relation biquadratique et symétrique, c'est-à-dire de la forme
(18; A/2/'2-j- V,tt'(t — /')-+- Ci '/2 i/,i)-i- D //'-+- Ei / — /'i-f- F =0.
En introduisant les fonctions symétriques élémentaires / — t' = p et tt'= q, elle s'écrit
(191 A q2 B qp + C/?2 -D?+E/) + F = ...
en changeant D en D — aC.
D'autre part, d'après (11), l'équation de la corde MM' est
2 ■ Si u, v, w désignent ses coordonnées homogènes, on a
En portant dans (19), nous obtenons l'équation fangentielle .le l'en\eloppe \ u 2 — %B vw 4- 4 Ce2 Dilw — iEuv — F u1 = o.
On a donc le théorème suixanl :
Théorème VI. — Toute corde dont les extrémités sont en correspondance l>ii] uadratique et involutive enveloppe une conique.
Si, dans (18), on fait / = t', on obtient une équation du quatrième degré.
