LES CONIQUES CONSIDEREES COMME COURBES UNICURSALES

Il y a donc quatre points doubles. Les tangentes en ces points à la conique proposée sont évidemment des tangentes particulières de l'enveloppe. Ce sont les tangentes communes aux deux coniques.

Les théorèmes I à VI ont leurs corrélatifs; nous laissons au lecteur le soin de les énoncer et de les démontrer.

">6<S. Théorie géométrique. — On peut exposer la théorie du rapport anharmo nique et des divisions homographiques sur les coniques, d'une manière entièrement géométrique.

Considérons les quatre points M,, AL, M3, M4 et deux autres points M et M' 1 fig. 63 I, tous situés sur la conique. Si l'on joint Al

Fis. 63.

et M' à un point variable I* de la conique, les droites MP et M'P décrivent deux faisceaux homographiques. Dès lors, si l'on amène P successivement en M,, AL, M:J. AL, et si l'on applique le théorème fondamental du 11" l 'fl. on a

M(.M,M^13M; |= M'i MjMîMsM* \.

11 résulte de là que 1»- rapport anharmonique Ali M, ALA1:, AL, i reste constant, quelle que soit la position de M sur la conique: il ne dépend que des quatre points M,. AL. M3, Al4. On l'appelle rapport anharmonique de ces quatre jinints.

Considérons maintenant une tangente T quelconque et la tangente L au point variable P. Elles se rencontrent au point j> 1 fig. 6 i . 11 est facile dé voir qu'il existe une correspondance homographique entre ce point et la droite MP(nB143). L) où il résulte que le rapport anharmonique des quatre points de rencontre de T avec les tangentes U,, Uâ, L;i. L ( aux points M,, AL, Al3. Al, est égal au rapport anharmonique du faisceau Ali Al, AL Al 3 Al, 1. c'est-à-dire des quatre

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points Mn Mo, M3, M4. Il est donc constant, quand on fait varier T. On l'appelle rapport anharmonique des quatre tangentes; il est égal au rapport anharmonique des quatre points de contact.

Considérons maintenant deux faisceaux homographiques PM et PM', ayant leur sommet P sur la conique (■ ). Ils découpent sur cette; dernière des divisions M et M' dites homographiques.

D après le théorème du n" 142 et d'après les définitions ci-dessus, le rapport anharmonique de quatre points M est égal au rapport anharmonique des quatre points homologues M'. Cette propriété caractéristique peut aussi servir de définition et montre que la définition précédente est indépendante du choix du point P.

L'homographie est déterminée par le choix de trois couples de points homologues.

Il y a deux points doubles E, F, situés sur les rayons doublo des faisceaux PM, PM\

D'après le théorème II du n° 139, on a

(•21) (EFMM') = const.

Théorème. — Etant donnés deux couples de points homologues (Mi, M| ) et (M2, M'2) les cordes M, M', et Ms M', se coupent sur la ligne des points doubles FF .

En effet, soient N, V. P les points de rencontre respectifs de MiM2, M* M,. Mi Mo avec EF (fig. 6 j). D'après (>.i), on a

(EFM,M'1) = (EFM2M/Î |;

d'où

Ms(EFMiM', i = M^EFMjM'j i

et enfin, en coupant les deux faisceaux par la sécante FF ,

(EFFN') = (EFPN).

(') Rien n'empêche de prendre des sommets différents P et P' pour les deux faisceaux.

LES CONIQUES CONSIDÉRÉES COMME COURBES UNICORSALES. 60 r

Ceci prouve que les points N et N' sont confondus et, par conséquent, que MiM'2 et M2 M', se coupent sur EF (l). c. q. F. n.

Application : Théorème de Pascal. — Soit un hexagone inscrit dans une conique, dont les sommets sont numérotés i, 2, 3, \, 5, 6. Les côtés opposés (12, 45), (23, 56), (34, 61) se coupent en trois points x, p, y en ligne droite.

En effet, considérons, sur la conique, l'homographie déterminée par les trois couples de points homologues (r, 4), (5, 2), (3, 6) et appliquons-lui le théorème ci-dessus. Le point de rencontre a des cordes 12, 45 se trouve sur la ligne des points doubles. Il en est de même des points £ et y. Ces trois points sont donc bien en ligne droite. c. Q. F. D.

Toutes les propriétés ci-dessus ont leurs corrélatives, que nous laissons au lecteur le soin d'énoncer et de démontrer. Bornons-nous à énoncer le théorème corrélatif du théorème de Pascal :

Théorème de Brianciion. — Soit un hexagone circonscrit, dont les sommets consécutifs sont numérotés 1, 2, 3, 45 5, 6. Les trois droites 14, 25, 36 qui joignent les sommets opposés sont concourantes.

Il nous reste à chercher l'enveloppe de la corde MM', dont les extrémités décrivent des divisions homographiques sur la conique. On pourrait étudier la question directement et démontrer, par exemple, que les points de rencontre de MM' avec les tangentes aux points doubles décrivent, sur ces tangentes, des divisions homographiques. On serait alors ramené au théorème II du n" 147. Mais, la solution est loin d'être évidente. On arrive, au contraire, immédiatement au résultat, en faisant une transformation homographique envoyant E et F aux points cycliques. La conique devient un cercle. La corde MM' est vue sous un angle constant d'un point P quelconque de ce cercle, ainsi qu'il résulte de la formule (21) et de la formule de Laguerre {n° 164;. Elle a donc une longueur constante et enveloppe un cercle concentrique au cercle proposé. En revenant à la figure primitive, on voit que l'enveloppe de MM' est une conique bitangente à la proposée aux points doubles E, F.

Dans le cas particulier où les divisions sont en involution, l'angle constant ci-dessus est droit et la corde MM' passe par le centre du cercle. En revenant à la figure primitive, on voit que :

Si les divisions M et M! sont en involution , la corde MM' passe par un point fixe, pôle de la ligne des points doubles.

(' ) Autre démonstration. — Si l'on fait varier M;. M,, en laissant fixes V,, M., le point de rencontre Q de M, M', et de M't M, décrit une droite D, car les faisceaux M,M'2 et M[ M, sont homographiques et la ligne des sommets M, M( se correspond à elle-même. D'autre part, E et F sont des positions particulières de Q; donc la droite I> n'est autre que EF et le théorème est démontré.

602 CHAP. XXXVII. — LES CONIQUES CONSIDÉRÉES COMME COURBES UNICURSALES.

Ceci e»t <Iu reste facile à démontrer directement. Soit P le point de rencontre de deux cordes particulières M, M', et M2Mf,. Si l'on mené par ce point une sécante variable P).. elle rencontre la coniqueen deux points N et IV, qui décrivent deux divisions en involution. Alais, cette involution a en commun avec la proposée deux couples de points homologues M,, M', etM2, M',. Elle coïncide donc avec elle, ce qui démontre le théorème.

Citons l'application suivante :

Théorème de Frégier. — Les cordes dune conique vues d'un point fixe Q de celte conique sous un angle droit passent par un point fixe P.

Ce point P est sur la normale en Q, car cette normale est une des cordes de l'énoncé. On l'appelle le point de Frégier relatif au point Q.