COURBES ET SURFACES DD TROISIÈME ET DU QUATRIÈME DECRU

569. Propriétés générales des ci biques planes. — Le nombre des coefficients d'un polynôme du troisième degré étant égal à 10, la cubique plane la plus générale dépend de g paramètres. Une cubique plane est donc déterminée par g points, à condition toutefois que le déterminant principal dont dépend la rechercbe des coefficients soit du 9' ordre, ce qui se traduit par certaines inégalités entre les coordonnées des 9 points.

Soient maintenant deux cubiques

Elles se coupent en 9 points. Ces 9 points ne déterminent pas une cubique : ils appartiennent, au contraire, à tout le faisceau

où /. désigne un paramètre arbitraire.

Les cubiques qui passent par 8 points donnés dépendent linéairement d'un paramètre arbitraire; elles constituent un faisceau de la forme (2), f\ et /■2 désignant deux quelconques d'entre elles ('); elles passent donc par un 9e point fixe, qui est le 9e point de rencontre de J\ et de fî. On peut déduire de cette simple remarque un certain nombre de propriétés élégantes des cubiques planes.

Soit la cubique plane (Ci. Coupons-la par une conique quelconque il'). Il y a 6 points d'intersection : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Les sécantes 12. îj. 5r> rencontrent à nouveau la cubique aux points respectifs 7, 8, 9. Je dis que ces trois points sont en ligne droite.

En effet, considérons la cubique | C) constituée par nos trois sécantes et la cubique 1 C" 1 constituée par la conique 1 U) et la droite 78. Ces trois cubique? ont en commun les points 1, 2, ..., 8. Elles ont donc un 9e point commun, qui n'est autre que le point 9, puisque celui-ci appartient à (G) et à 1 G').

(') Ceci peut être en défaut dans certains cas particuliers, qui seraient mis en évidence par la discussion cniiplète du système linéaire dont dépendent les coefficients de la cubique. Nous ne nous occuperons pas, dans tout ce qui va suivre, des difficultés de ce genre.

to | CHAPITRE XXXVIII.

IVous voyons donc que (C") passe par 9. Comme (F) ne peut y passer, c'est nécessairement la droite 78 et la proposition est démontrée.

Comme conique (T), on peut prendre deux droites. Ces deux droites peuvent être supposées confondues; on a alors la propriété suivante :

Etant donnés trois points AI, \, P en ligne droite, les tangentes en ces points rencontrent à nouveau la cubique en trois nouveaux points M', Y, P', gui sont également en ligne droite.

Supposons enfin que deux des trois points précédents, par exemple M et N, soient des points d'inflexion. La tangente en chacun d'eux coupe la courbe en trois points confondus. Il s'ensuit que M' se confond avec M, N' avec N. M'Y avec MX, donc P' avec P. Autrement dit. le point P est aussi un point d'inflexion. D'où la proposition suivante :

La droite qui joint deux points d'inflexion cl une cubique la coupe en un troisième point d'inflexion.

D'après la formule de Pliicker 1 n" 2"22). une cubique possède, en général, 9 points d'inflexion. Ces 9 points sont tels que la droite qui joint deux quelconques d'entre eux en contient un troisième et un seulement. Une telle configuration ne peut être obtenue avec des points réels (*). Donc, quelle que soit la cubique, les 9 points d'inflexion ne sauraient être tous réels. Si la cubique est réelle, elle a seulement trois points d'inflexion réels (- 1.

570. Cubiques circulaires a point doublk. — Une cubique C est

circulaire, si elle passe par les points cycliques. Nous considérerons seulement ici relies qui admettent, en outre, un point double (3).

Prenons ce point double pour origine. Prenons l'axe 0)' parallèle à la direction asvmptotique, nécessairement réelle, autre que les directions isotropes. L'axe 0.r sera, bien entendu, perpendiculaire à Oj.

L'équation de la cubique C est abus de la forme

( 3 ) ./• 1 x- — i - ) — A. x- — 15 xy — C y- = o .

S.m équation polaire est

A cos- w + Bsiiuocosw-r C si 11 ! w