COURBES ET SURFACES 1)1 TROISIÈME ET 1)1 QUATRIÈME DEGRÉ. H

point de rencontre T de cette dernier»' avec la tangente en ( ) à Y. Cela peut m' viiir par le calcul ou bien, géométriquement, en remarquant

Fig. 66.

que, si M vient sur A, on a OM = ()M2= M, M2 ; donc, M, vient en O; autrement dit. OX est tangente en O à Y.

Lorsque; Ox est axe de symétrie, ()T est parallèle à A. T <>i à l'infini.

Les points de rencontre de la cubique avec le cercle Y sont à l'intersection de ce dernier avec la droite A parallèle à A et équidistante de O et de A. Cela encore est facile à vérifier analytiquement ou bien géométriquement, en partant de OM, = M, M2.

Ajoutons enfin que la cubique possède deux points où la tanfiente est parallèle à A; ils sont obtenus en prenant M, successivement aux deux extrémités du diamètre de Y perpendiculaire à A. On s'en rend aisément compte, en assimilant le cercle à si tangente au voisinage du point M, considéré. On peut aussi le vérifier par le calcul.

Tous les renseignements qui précèdent suffisent amplement pour donner une idée précise des différentes formes que peut affecter la courbe. On peut, au surplus, la construire, par Ie> procédés classiques, soit au moyen de l'équation (3), soit au moyen de l'équation (5 ). On peut enfin la construire par points au moven du cercle Y et de la droite A. Les ligures 65 et 66 indiquent les formes principales qu'on peut obtenir, suivant la position relative de l\ A. ( ).

571. QuARTlQUES bicircllaires. — Parmi les courbes planes du quatrième degré, nous nous bornerons à étudier celles qui admettent les points cycliques

6o8 CHAPITRE XXXVIII.

pour points doubles et qui portent, pour cette raison, le nom de quartiques bicirculaires. On les appelle aussi, en même temps que les cubiques circulaires, des cycliques.

Leur équation générale est de la forme I ' l

i 1 1 i (x2 — j-'2 >2 -h i x2 -^ y- )( a x -r- by) -r-f(x, y) = o,

/ /-, r) désignant un polynôme du second degré quelconque.

On peut la simplifier un peu par un choix convenable des axes de coordonnées.

Transportons d'abord l'origine au point ( ? ); les termes du troi-

sième degré disparaissent. Faisons ensuite tourner les axes, de manière à les rendre parallèles aux directions principales de la conique f=o; nous faisons disparaître le terme en xy. Nous obtenons finalement Yéquation réduite :

(12) (x- -+- y2 j2 -fAr!+ B y- -+- 2 C x — 2 D j — E = o.

572. Tout cercle G coupe la quartique suivant quatre points à distance finie, car l'intersection totale, qui se compose de huit points, comprend les points cycliques, dont chacun compte pour deux, puisque ce sont des points doubles.

D'ailleurs, soit

1 £ 3 ) x"- — y- — 1-j.x — 2 [iy -+■ y — o

1 équation du cercle. Posons, pour abréger l'écriture,

Si nous remplaçons, dans (12), x2-+-y2 par P, nous obtenons léquation du second degré

( 1 "> ) P2 -i- A x2 -4- B y2 + ïC.r + 2 Dy — E = o,

à laquelle doivent évidemment satisfaire les points d'intersection situés à distance finie. <les points peuvent donc être considérés comme déliais par l'intersection du cercle G avec la conique P représentée par l'équation (l5). Ils sont donc bien au nombre de quatre.

573. On est conduit à des propriétés intéressantes des quartiqnes bicirculaires, en étudiant les cercles qui leur sont bitangents.

Pour que le cercle C ci-dessus soit bitangent à la quartique, il faut et il

(') Un le voit en exprimant que léquation se réduit au second degré, quand on y suppose x ± ri constants; ou bien en écrivant que les trois dérivées partielles ^'annulent pour les points cycliques ( cf. Chap. XV, Exercice proposé n°G).