COURBES ET SUBFACES DU TROISIÈME ET 1)1 QUATRIÈME DEGRÉ

suffit que les quatre points d'intersection soient deu\ à deux confondus et, par conséquent, que le cercle G si>it bitangent à la conique T (>). Pour cela, nous savons qu'il faut et suffit que le faisceau (C, Ti comprenne une droite double (n° ASo. Y ». Nous allons donc écrire que, pour une valeur convenable de a, l'équation

(16) P2 — A.r2-+- B j-î-f- 2Co--^2 Dr -f- E -±- \(x*+y*— P) = o

représente une droite double, c'est-à-dire possède une ligne de points doubles (n° 431). Les trois équations du premier degré en x, y,

(17) îPa + Ax -+- C -t- l(x — a) = o,

(18) 2ri + P.7+D —}i)— 3,i=o.

(19) — Py -+- Cx -f- Dr -I- E — /. J = o,

doivent se réduire à une seule. Ou bien encore, si l'on introduit la variable auxiliaire P. les quatre équations (l4)3 (17)) • 18 1. (19), linéaire- en x. y. P. doivent se réduire à deux.

Or, si l'on suppose ). == — A et de — P> (2 I, on peut tirer x et y de (17) et (18) respectivement :

Xa — C-2P7. X3 — D — 2P8

(2o) x= XTÏ — ' v= ' n-w. '•

En portant dans (19) et (r4). on doit obtenir deux équation- satisfaites quel que soit P: cela donne les quatre c militions :

2Ca 2 D3 >.

(il) Y -+- r — ^ — - = O.

A -+- X B — À 2a(Xa — G) 23(X8 — D

Les inconnues sont a. 3. y, à. Gomme nous avons quatre équations pour les déterminer, il semble, au premier abord, qu'il n'y ait qu'un nombre limité de cercles bitangents. Mais examinons no- équations de plus prè- et tâchons de les résoudre.

(l) Il est d'ailleurs facile de vérifier que si le cercle C et la quartique sont tangents en M(x,v), il en est de même de C et T et réciproquement.

(-) Nous laissons au lecteur le S"in de vérifier que les hypothèses contraires conduisent à une impossibilité, si les coefficients de la quartique sont quelconques.

Haag. — Cours. II. 3o

r»iO CHAPITRE XWVlll.

Non- pouvons d'abord éliminer facilement y- en le tirant, par exemple, de (21) et portant dans < 22 1 et 1 ?4 r. nous obtenons ainsi l'équation

puis l'équation (23). Nous voyons donc que nos quatre équations ne sont pas distinctes et se réduisent à trois, qui sont, par exemple, (25), ( 23 I, (21).

De plu-, dans ces dernières, les inconnues se séparent d'elles-mêmes et l'on aperçoit immédiatement la solution générale :

On détermine X par l'équation du quatrième degré (25). Puis, on choisit arbitrairement y.. 3 satisfaisant à (23). Enfin, y est donné par (21). Ceci peut s'interpréter géométriquement.

D'abord, si. dans (23 ). on regarde X comme constant el ?.. 3 comme les coordonnées courantes, celte équation représente une conique D\. Lorsqu'on a choisi la racine X île (25), le centre I de C peut être pris arbitrairement sur cette conique.

Ce centre étant choisi, le cercle esl déterminé par y. qu'on tire de (21). Or, l'équation (21) est une relation linéaire entre x. 3. y. Tous les cercles qui la vérifient sont donc orthogonaux à un cercle fixe V; (11° 170», dont l'équation est

Nous avons finalement la proposition suivante :

Théorème. — Il y a quai re familles de cercles C bitangents, qui correspondent aux quatre racines de l'équation (25) en X. Les cercles de chaque famille ont leurs centres sur la conique D>, appelée déférente et sont orthogonaux au cercle fixe T\, appelé cercle directeur.

Lorsque À varie, l'équation C>3) représente un faisceau de coniques homofocales 1 n° 536). Donc, les quatre déférentes sont homofocales.

Je dis que chaque cercle directeur est orthogonal aux trois autres. En effet, la condition d'orlhogorialité des cercles I',, et Y;, est (n° 170)

(A — /., M A — /.,) (B-l-Xi M B +- A2)

Elle est bien vérifiée par les racines Àj et X2 de (23 1. comme on le voit en remplaçant successivement, dans cette équation. À par Xi et X», puis retranchant membre à membre et divisant par ).! — Xj (').

">74. Si l'on se reporte au n" 420. on \oit c\\i'une quart/que bicirculaire (') Cf. n' 536.

COURBES ET SURFACES DU TROISIÈME ET DU QUATRIEME TiE(,RÉ. 1.11

est anallagmatique de quatre manières différentes. Les quatre cercles d'anallagmatie sont les quatre cercles directeurs F.

Réciproquement, toute courbe anallagmatique dont la déférente est une conique à centre est une quartique bicirculaire ( ' ).

b7o. Il est aise de trouver les foyers de la quartique. Il suffit, en effet, de chercher les cercles C dont le rayon c^t nul (n°b!4). Pour cela, il suffit de prendre, dans chaque famille. les points d'intersection de la déférente et du cercle directeur. Donc, toute quartique bicirculaire possède 16 foyers, qui sont les points de rencontre des quatre déférentes avec les cercles directeurs correspondants.

576. Qiartiqles BICIRCULA1RES A point DOUBLE. — Si la quartique a un point double P, les cercles passant par P et tangents à la quartique en un point variable M doivent être considérés comme bitangents. Donc, un des cercles directeurs se réduit au point P.

Réciproquement, si un cercle directeur se réduit au point P, les cercles bitangents correspondants passent tous par ce point; leur enveloppe admet P pour point double, les tangentes en ce point étant perpendiculaires aux tangentes à la déférente issues de P i n° 277 et Chap. XIII, Exercice résolu n° 2).

Donc, pour que la quartique ait un point double, il faut et il suffit qu'un cercle directeur ait son rayon nul.

La condition pour que le cercle F>, représenté par l'équation (26), ait son rayon nul est

Or, le premier membre n'est autre que la dérivée de (25). Donc, pour que la quartique ait un point double, il faut et il suffit que son équation en X ait une racine double; le cercle directeur correspondant à cette racine se réduit au point double; la quartique est homotliétique, dans le rapport 2. de la podaire de la déférente par rapport éi ce point ( n° 277 ).

Aux deux autres racines correspondent deux familles de cercles véritablement bitangents. Les cercles directeurs correspondants passent par le point double P. puisqu'ils sont orthogonaux au cercle de rayon nul de centre P In" o73). Il en est de même des déférentes, dont chacune est tangente en P au cercle directeur correspondant, la tangente commune étant bissectrice des tangentes à la quartique, ainsi qu'on le voit en réduisant, au voisinage du point P, la quartique à ces tangentes.

b77. Si nous prenons le point double pour origine, l'équation de la quar-

(') Cf. Chap. XXVIII, Exercice proposé n° 8.

Gl2 CHAPITRE XXXVIII.

tique est de la forme

(->;) (a,,- + /,-j!+2(2'î+/2)(a3, + by) -+- A#2-f- iVtxy — G/2 == o.

Vérifions que. conformément à une conséquence du numéro précédent, celle courbe est la podaire d'une conique à centre. A cet effet, nous allons chercher l'équation tangentielle de l'antipodaire.

Les coordonnées de la projection de l'origine sur la droite ( u, c, vo ) sont