II- -h vi

Portant dans (27) et supprimant le facteur w2, nous obtenons l'équation cherchée

(28) u - — 2 wrau -f- bv 1 — A m2 -h 2 B uv -h C c2 = o.

C'est l'équation de la conique à centre A la plus générale. g. Q. F. d.

Les tangentes à cette conique menées par l'origine sont obtenues en annulant w dans (28), ce qui donne

A !/'+lIi«C-r C v*- = o.

Oa vérifie qu'elles sont perpendiculaires aux tangentes à la quartique 1 cf. Ghap. XIII, Exercice résolu n" 2j, définies par l'équation ponctuelle

\ /2-r- y.Bxy -+- G)'2 = o.

Le point O est un point de rebrousseinent lorsque ces tangentes sont confondues, c'est-à-dire lorsque O est sur la conique A.

Si 0 est le centre de A et si. de plus, les axes de coordonnées sont les axes de la conique, on a « = 6 = B = o; l'équation (27 1 se réduit à

(x* — y" )'2 + Aa;!+ C k2 = o.

Si, en outre, la conique est une hyperbole éguilatère, on a C = — A et l'équation devient

(29) (x-i—yiy.^. A(.r2 — y"-) = o.

Gette courbe est connue sous le nom de lemniscate de Bernoulli.

o78. Limaçon he Pascal. — Lorsque la conique A est un cercle, sa podaire porte le nom de limaçon de Pascal.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que l'équation (28) puisse se mettre sous la forme

C01RBES ET SURFACES DU TROISIEME ET Dl QUATRIÈME DEGRÉ. 0l3

Or, elle s'écrit

(w — au — 6i>)2+ A u- — 2B uv -+- C f2 — (i u — bv)-= o. Pour qu'elle soit Je la forme (3o), il faut et il suffit qu'un ait (3 j) A — a2 = C — 62, B - ab.

On arrive aux mêmes conditions en exprimant que les points cycliques sont des points de rebroussement de la quartique. En effet, si l'on coupe celle-ci par la droite^ = 1 x -j- 0 et si l'on annule le coefficient de a?2 dans l'équation aux x des points d'intersection, on obtient l'équation aux 0 des asymptotes (n°236) :

4 o2 — $io(a -4- bi) — A — 1 B i •+■ C = o . La condition pour que cette équation ait une racine double est

— (a-+- èt')2+ A — iBi — C = o.

Si l'on écrit qu'elle est satisfaite pour les deux points cycliques, c'est-à-dire quand on change i en — i. on retombe sur (3i).

Donc, le limaçon de Pascal est une quartique bicirculaiie à point double caractérisée par la condition . que les points cycliques sont des points de rebroussement.

Si le centre A du cercle A est pris sur Ox, avec l'abscisse a et si R désigne le rayon de ce cercle, l'équation 1 28 1 doit être identique à

O-F-zu)2— R202+e2) = o.

Cela nous donne les conditions

L'équation réduite du limaçon est donc

(32) (x--\- j-2)2— iixix--^- y-) H- {y.-— R2 '.r2— R2 r2 = 0.

Lorsque y. = R, c'est-à-dire quand O est sur A, le limaçon admet O pour point de rebroussement et porte le nom de cardioïde, eu égard à sa forme.