L'équation polaire de la courbe (27) est
(33) p2-r- ip(a cosoj -i- b sinu>) -4- A cOs2co +2B sinw cosw — C sin2to = o.
Dans le cas particulier de la lemniscate. elle se réduit, en supposant, par exemple, A = — 1, à
(34) p = y/cos2w.
6l 4 CHAPITRE XXXVIII.
Cette équation permet de construire très simplement la courbe, qui a la forme ci-contre < //,i'. 67).
Fig. 67.
Dans le cas du limaçon (32), l'équation 1 33 >. résolue ]>ar rapport
à o. devient
a cosod dz R.
Cette équation montre que le limaçon de Pascal est aussi une eonclioïde de cercle, à savoir la conchoïde du cercle p = acosw, qui est décrit sur OA comme diamètre (,).
On peut, dans l'équation (35), se borner ;'i prendre le si^ne -+devant R, comme on le voil en changeant <•> en to-f-it el z en — 0 (n°40).
La construction de la courbe au moyen «le cette équation esl immédiate. En cherchanl les valeurs de <•> qui annulent z. on esl conduit à distinguer trois cas suivant que P» y. lî a, R = a. i es trois cas donnent lieu aux tableaux el formes de courbes ci-dessous :
Vis. 68.
Premier ras : point double isolé (fig- 68, a >
tû
(') Le lecteur trouvera sans peine une démonstration élémentaire de cette propriété.
COURBES ET SURFACES DU TROISIEME ET DU QUATRIEME DEGRÉ. f> I 5
Deuxième cas : point double nodal i fi g. 6$, b)
XA
Troisième cas : point de rebroussement (cardioïde) {fig. 68, c)
îR M. R ^ o
580. Toute quart ique bieirculaire à point double est une courbe unicursale, puisqu'elle possède trois points doubles (n° 266 j. Pour trouver ses équations paramétriques rationnelles, il suffit, conformément à la méthode générale (n° 266 ), de la couper par un cercle variable passant par le point double et par un autre point fi\e choisi arbitrairement sur la courbe.
Dans le cas particulier du limaçon de Pascal, on arrive immédiatement au
résultat, en posant tanç — = t .
581. Conoïde de IYucker. — l ne surface du troisième degré n'est pas réglée en général; on démontre qu'elle possède 27 droites {cf. Exercice résolu n° 3). Toutefois il y a des surfaces réglées du troisième ordre. Nous allons étudier la suivante :
(36) z = a.T'~rî.
Celte surface est un conoïde droit, d'axe O^ (n° 383), qui porte le nom de conoïde de Pliicher.
Tout plan passant par O; coupe le conoïde suivant une seule droite ( ' ) autre que O;. Tout plan II perpendiculaire à O^ le coupe suivant deux génératrices G et G', admettant pour plans bissecteurs z Ox et zOj\ Ces deux génératrices ne sont réelles que si le plan II est compris entre les plans II, et II2, d'équations respectives z = -+- a et z = — a. Pour le plan II,, G et G' se confondent avec une droite G, du plan des zx, le long de laquelle II, est tangent à la surface. De même, II., est tangent à la surface le long d'une
(') L'axe O; est une ligne double; tous ses points sont des points doubles.
6l6 CHAPITRE JLXXV1II.
droite G2 du plan des zy. Le conoïde est tout entier compris entre ces deux plans FI, et n2.
On satisfait identiquement à l'équation < 36 |, en posant
H-) 57=ifcosc, y=us\nv, a = acos2f.
Ces équations constituent donc un système d'équations paramétriques de la surface ('-).
Les paramètres a et v ont une signification géométrique évidente; ce sont les coordonnées polaires dé la projection du point M(w, ri sur ocOy.
Les lignes v = const. sont les génératrices, Lorsque v croit de o à II, la génératrice (p) part de G,, coïncide avec La première bissectrice
de xOy pourv = 'j, atteint ( i2 pour v = -, puis remonte jusqu'à Gt,
en prenant les positions symétriques des précédentes par rapport h zOx
et coïncidant, en particulier, avec là seconde bissectrice de xi > y.
■> — pour p= — r- On se rend compte ainsi de la forme de la surface,
autant, du moins, que cela esl possible.
Le conoïde de Plùcker contient une double infinité d'ellipses E, «|ui sont ses sections par ses plans tangents ou, si l'on veut, par les plans passant par une quelconque de ses génératrices. Coupons, par exemple, par le plan
(38) a?sint> — y to%v — X(s — acos2iJ = o.
En éliminante entre (36) et (38), nous obtenons la projection de la section
sur xOy :
(x sin v — y co%v)(x*- -+■ y*) — X« [x9 — y- — | x1 — y* i cos.2t>]= o.
Le crochet est égal à 21 .r- -in- v — j^'c-os* p). Il est divisible par x sin v — y cos P et, par suite, aussi toute l'équation. Supprimons ce facteur, qui correspond à la projection de la génératrice (v). Il reste
(3g) x2-hj-- — iha ( x sin v -{-y cosc ) = o,
c'est-à-dire l'équation d'un cercle passant à l'origine. Donc, les ellipses se projettent sur xOy suivant des cercles passant pur O.
(') Si l'on substituait à v la variable p'=tang-> on obtiendrait do> formules
rationnelles eu u et v' . La surface est donc unie ur sale (cf. Exercice proposé
