OM = 00'+0'M

On a aussi

(28) 'x'=X — X0, y' = y—yQ, z' = Z — z0.

II. L'origine ne change pas. — 11 suffit de faire x0 — y0 = -So = o dans les formules (24) qui deviennent alors homogènes en x\ y . z' et définissent une substitution linéaire (t. I, n° 297).

34. Changement ue coordonnées rectangulaires. — Nous allons nous attarder sur le cas très important où les axes anciens et nouveaux sont rectangulaires. Nous supposerons en outre qu'on peut passer des premiers aux seconds par un simple déplacement (2). Enfin, nous ne changerons pas d'origine.

I. Dans le plan. — On peut passer de xOy à x' O' y' par une rotation d'un certain angle cp autour du point O. Les angles polaires

de Ox' et de Ov' sont respectivement ©et© -i Leurs cosinus direc-

teurs sont donc (n" 29)

a = cos<p, b = sin cp, ,

a' = cos ( <p H — - ) = — si n cp, b' = sin ( <p -i )= coscp.

En portant dans (25), où l'on aurait annulé x0 etj'0, on a les formules très importantes :

(29) x = x' cos<p — ^''sihcp, y = x' sincp -i-'}J co«<p.

(') Quand on fait un tel changement, on dit qu'on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point O' ou, simplement, qu'on transporte les axes au point O'.

(2) C'est-à-dire que les axes Oxy et O x' y' doivent définir le même sens positif de rotation ( n° 26), dans le cas du plan et que les trièdres Oxyz et O' x' y' z' doivent être de même espèce (n° 28), dans le cas de l'espace.

On passe de Qx'y' à Qjv par une rotation de l'angle — o. Donc, en changeant v en — -s> et les accents de place dans (29% on obtient

(3o) x = x coso -+- y sin ç. y ' = — arsinç -t-^y coso:

ce qu'on peut vérifier en résolvant 1 29) par rapport à x', v .

3o. II. Dans V espace. — Nous avons les formules

. x = ax'-+- a' y' -\- a " z' .

(3i) v = bx'-h b'y'-h b'z',

z = ex' -h c y' -\- c" z' .

Mais les paramètres a, 6, c, ... sont des cosinus directeurs, puisque les anciens axes sont rectangulaires. On a donc (n° 24)

En second lieu, les nouveaux axes sont orthogonaux deux à deux; cela entraîne les relations (n° 31)

(33) a' a" -\- b' b" -h c' c " = o, a"a -+■ b'b -+- c" c = o, aa' •+- bb' -h ce' = o.

On reconnaît les conditions qui expriment que la substitution linéaire (3i) est orthogonale (' ) (t. I, n° 2'-'9).

Au reste, on aurait pu le prévoir en remarquant qu'on devait avoir, a priori, l'identité

(34) ^ + j2+,!E=:r'2 + 7'Ja-Z'2)

car les deux membres sont égaux à OM" (n° 177 V

Appliquons maintenant ce que nous savons sur les substitutions

orthogonales (t. I, n° 299). D'abord, on peut écrire de suite les

formules

qui donnent les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes (2). Puis, on- a (2),

(36) a2-t- rt'2-i a"2= 1, 62-h b'1— b"2 — 1, c2 -+- r'2 -+- c"2 = 1 ;

(37) bc -r- b' c' -+- b" c" = o. ça -t- c'a'-i- c"a"= o, ab -\- a' b' -+• a" b' — o.

(l) Le lecteur s'explique maintenant l'origine de cette dénomination. (3) Ces formules sont évidentes, si l'on observe que les cosinus directeurs de Oxi par exemple, relativement aux axes Ox'y'z', s<>nt a, a', a".

On sait maintenant que le déterminant des neuf cosinus

est égal à dz i . Je dis qu'il est égal à -f- 1 .

Pour le prouver, employons l'artifice suivant. A est une fonction continue des cosinus (t. I, n° 282). Donc, si l'on déplace Ox'yrz' d'une manière continue, il ne peut varier que d'une manière continue. Comme ses seules valeurs possibles sont + i et — i, il ne varie. pas. Profitons-en pour l'amener sur Oxyz, ce qui est possible, par hypothèse (n° 31). Nous avons alors

Donc, dans le cas général, A est bien égal à-f-i.

Remarque. — Si les deux trièdres étaient d'espèces différentes, on aurait A = — i, comme on le verrait en amenant 0#'sur0.r, Oy' sur Oy et O^' sur la demi-lroite opposée à Oz.

Signalons enfin les formules relatives aux mineurs de A (t. I, n°299) :

qui permettent d'écrire immédiatement les cosinus directeurs de Ox' connaissant ceux de Oy' et de O z' .

Si les deux trièdres sont d'espèces différentes, il faut changer les signes des premiers membres.

36. Angles d'Euler. — La position du trièdre Ox' y' z' par rapport à Oxyz dépend de trois paramètres, car les neuf cosinus a, b, ... sont liés par six relations indépendantes et six seulement, à savoir les équations (3a ) et (33). On peut se proposer de résoudre le problème du changement de coordonnées en n'introduisant que ces trois paramètres. On y arrive par le moyen des angles d"1 Euler.

Les plans xOy et x'Oj ' étant supposés distincts, choisissons arbitrairement sur leur intersection une demi-droite O). {fig- S). Nous

COORDONNÉKS. 3tj

appellerons •l ou angle de précession ( ' ) l'angle polaire de cette demidroite dans le'plan Oxy. Nous appellerons H ou angle de nutation (')

Fig. 8.

l'angle \0-, O-'/, le plan de cet angle étant orienté par la demidroite Oa, qui lui est visiblement perpendiculaire. Enfin, nous appel-

lerons s ou angle de rotation propre (') l'angle \Q\,Ox' ) dans le plan orienté Ox' y' .

Nous allons faire voir que ces trois angles, qu'on appelle les angles d'Euler, déterminent Complètement le trièdre Ox'y'z'. Pour cela, nous allons montrer qu'on peut passer du trièdre Oxyz (ou trièdre T) au trièdre Ox'y' z' (ou T' ) par trois rotations consécutives.

Première rotation ouprécestion. — Rotation de l'angle 6 autour de O^. Le trièdre T vient enT, ou Ox<y{ 3,, Ox{ suivant O A.

Deuxième rotation ou nutation. — Rotation de l'angle h autour de O A ou Ox{. Le trièdre T, vient en T2 ou Ox2 r2.:2, 0;2 suivant O^'.

Troisième rotation ou rotation propre. — Rotation de l'angle cp autour de O;' ou 0;2. Le trièdre T2 vient en T', car 0:2 reste sur O;' et Ox2 vient sur Ox', ce qui exige que Oj'2 vienne sur Oy', car T2 et T' sont trirectangles et de même espèce.

Rien n'est plus aisé maintenant que d'établir les formules du changement de coordonnées. Appelons {x,y, z), (x,,y,, zK ), (x2, j'2, 32),

(l) Ces dénominations sont empruntées à la Mécanique et à l'Astronomie.

./ . i , s') les coordonnées de M par rapport aux trièdres T, T,, T2 T'. Le passage de chaque trièdre au suivant se faisant par une rotation autour d'un de ses axes, on est ramené ehaque fois à un changement de coordonnées rectangulaires dans le plan. En appliquant les formules i 29), t)n a successivement :

, x =X]COS'| — j-jsin^- y = &\ sin ^ -+- jn cos'i,

(4o) ■ xi = xi, r,=j2cos6 — s2sinO, zt = jK2sinO -t- .s2cosô;

' a?2= ar'cosy — y'sintp, y2 = ^r'sino -hy'cosy, 2 = 2'.

On pourrait aisément en tirer x, j>', z en fonction de #', y\ z . En comparant avec (3 1), on aurait les neuf cosinus en fonction des angles d'Euler.

37. Extensions mvERSEs. — La considération des coordonnées cartésiennes conduit à des extensions, qui sont indispensables, comme on le verra dans la suite, pour la généralité de certaines propositions géométriques.

Points imaginaires. — Jusqu'à présent, les coordonnées étaient des nombres essentiellement réels. Nous admettrons dorénavant les coordonnées imaginaires. Quels que soient les nombres x, y, z, nous conviendrons, de dire qu'ils définissent toujours un point M. Si les trois nombres sont réels, le point sera réel. Si l'un au moins d'entre eux est imaginaire, le point sera imaginaire. C'est évidemment là une simple façon de parler et les points imaginaires n'ont, en somme, qu'une existence purement analytique. Mais cette façon de parler est fort commode et, tout paradoxal que cela puisse paraître de prime abord, l'introduction des éléments imaginaires en Géométrie s'est révélée comme excessivement féconde au point de vue de l'avancement de cette science dans le domaine réel.

Deux points M et M' sont imaginaires conjugués, si leurs coordonnées de même nom sont imaginaires conjuguées (t. I, n" 28).

On convient <t étendre aux points imaginaires les définitions et formules relatives aux points réels. C'est ainsi que le milieu des deux points M et M' est, que ceux-ci soient réels ou non, le point de

or i or \f i v z ' z

coordonnées ' r ' ' ~~ Observons, à ce propos, que le

milieu de deux points imaginaires conjugués est réel, car son abscisse, par exemple, est égale à la partie réelle commune à x et à x'.

3cS. Points a i.'im m; cooRnoNNÉEs bomogènes. — Imaginons qu'un point M se déplace dans l'espace de telle façon que la distance OM croisse au delà de toute limite ('). ÎNous dirons que le point M s'éloigne à V infini.

Dans le cas particulier où OM tend en outre vers une droite fixe 01, nous dirons que M va à V infini dans la direction OX ou encore qu'il tend vers le point à l'infini dans la direction O A ou sur OÀ.

D'après cette définition, il est évident que deux droites parallèles ont le même point à l'in/ini. On dit aussi quelles se coupent à r infini.

Soient x, >', z les coordonnées cartésiennes variables du point M précédent. A la limite, l'une au moins d'entre elles est infinie. Si OÀ ne se trouve dans aucun plan de coordonnées, elles le deviennent toutes les trois. Réciproquement, si x. y, s deviennent infinis, le point M va à l'infini ; mais, on ne sait plus dans quelle direction, si direction il y a. On tourne cette difficulté par l'introduction des coordonnées homogènes (2).