COURBES ET SURFACES DU TROISIEME ET DU QUATRIEME DEGRÉ

L'équation (3g) peut être identifiée, si l'on choisit convenablement /. et v, avec l'équation d'un cercle quelconque passant à l'origine. Donc, tout cylindre de révolution contenant Oz coupe le conoïde suivant une ellipse E.

On déduit de là le mode de génération suivant :

Le conoïde de Plïtcker est le lieu des droites qui coupent à angle droit une génératrice d'un cylindre de révolution et s'appuient, en outre, sur une section plane de ce cylindre.

Le conoïde de Pliïcker jouit encore de beaucoup d'autres propriétés et se rencontre dans un assez grand nombre de questions de Géométrie et de Cinématique.

o82. Cyclides. — On appelle cyclides les surfaces de quatrième degré qui admettent le cercle imaginaire de l'infini comme cercle double et les surfaces du troisième degré qui l'admettent comme cercle simple. Nous nous bornerons à étudier les premières, en suivant la même marche que pour les quarliques bicirculaires. dont les cyclides du quatrième degré sont l'extension à l'espace.

Par un choix convenable des axes de coordonnées, une telle surface a pour équation (n° 571 )

(4o) (x*-hy*-i- s!)'- + \xn-+ S'y* -4- A"^-f- 2 B;r + 2 ]V y -+- aB** + G = o.

Toute sphère S la coupe suivant le cercle de l'infini, compté deux fois et suivant une biquadratique T. Soit

(4i) x^-hy* -1- -2 — itx — '2 riy — 2*(z -+- 0 = o

l'équation de cette sphère. Si nous posons

(42) P = lax -+- 2py -+- i^z — 0.

la biquadratique T est définie par l'équation (40 et la suivante :

(43) P2-+- A.r2-+- Aj 2 + A".s2-i- 2 Bx -+- 2 Wy -+- >]V z — C = o.

Comme au n° 573. cherchons les sphères bitangentes. Pour que la sphère S soit bitangente à la cyclide, il faut et il suffit que T ait deux points doubles, et. par suite, que S soit bitangente à la quadrique (43). Autrement dit. on doit pouvoir déterminer A de manière que l'équation

(44) P2 ■+■ Aa?» -+■ A 'y* -+- A" z 2

+ 2BX + 2B'/ + 2B"^ -+-C + X(:r2+-J2-r- 32— P) = O

représente un faisceau de deux plans, c'est-à-dire admette i;na ligne de points

6l8 CHAPITRE XXXVIII.

doubles. Les quatre équations

isPa + As+B -+- À i .r — x ) = o.

2 P 3 -+- A' j -}- B'+ À ( y — p ) = o, 2 P v -4- AT* -f- P," 4- }..c--;i=o,

P 8 -+- Bx -h B'y 4- B"z -f- G -H X l ■

doivent se réduire à deux. Ou bien encore, ces quatre équations et l'équation ( |î i doivent se réduire à trois, si l'on y regarde x, y. z, P. connue levariables.

En tirant x. y, z des trois premières équations (45). puis portant dans la quatrième, ainsi que dans (4*)3 on obtient deux équations en P, qui doivent être vérifiées identiquement. Par un calcul analogue à celui du n° o73. on obtient ainsi quatre conditions, qui. en réalité, se réduisent aux troi> suivantes :

2Ba

Elles s'interprètent comme au n" 573. La première donne X; elle est du cinquième degn'. La seconde représente une quadrique à centre, lieu du centre de S. Enfin, la troisième exprime que S est ortbogonale à la sphère

i fo

iBx

iR'r

" ^ A 4- X On a finalement l'énoncé suivant

Théorème. — Il y a cinq familles de sphères S bitangentes à la cyclide. Pour chaque famille, le lieu des centres est une quadrique L>. appelée déférente; les sphères de la famille sont toutes orthogonales à une sphère fixe X, appelée sphère directrice.

Les cinq déférentes sont homofocales. Les cinq sphères directrices sont deux à deux orthogonales.

La cyclide. est anallagmatique de cinq manières différentes | n" 425), les cinq sphères d'anallagmatie étant les sphères directrices i.

La cyclide possède cinq focales, qui sont les biquadratiques foui nies par l'intersection de chaque déférente avec la sphère directrice correspondante.

583. Tout ce qui a été dit aux nos 576 et 577 pour les quartiques bicireulaires à point double s'étend au.-?i aux cyclides à point double.

COURBES ET SURFACES DU TROISIÈME ET DU QUATRIÈME DEGRÉ. 6lf)

Pour qu'une cyclide ait un point double P, il faut et il suffît qu'une des sphères directrices soit une sphère de rayon nul de centre P. La racine correspondante de l'équation (46) en X est une racine double. La cyclide est homothétique de la podaire de la déférente par rapport à P(').

Aux trois autres racines de l'équation eu)., correspondent trois familles de sphères véritablement bitangentes. Pour chaque famille, la sphère directrice passe par P. ainsi que la déférente, le plan tangent commun en P à ces deux surfaces étant un plan principal du cône des tangentes.

584. Cyclide de Dupin. — Une cyclide particulièrement intéressante et qui se rencontre dans une foule de problèmes de Géométrie est la cyclide de Dupin. Elle peut être définie de bien des manières, car elle possède beaucoup de propriétés caractéristiques. Une des définitions les plus simples est la suivante :

La cyclide de Dupin est l'enveloppe d'une sphère S dont le centre u décrit une ellipse E et qui reste orthogonale à un cercle focal C de cette ellipse.

Prenons pour axes des x et des y les axes de l'ellipse E et soient, comme d'habitude. ia et ?.b les longueurs de ce» axes. Supposons, pour fixer les idée-, que le cercle C ait son centre P sur Ox et soit OP = ;. On trouve ai>ément (n"538; que l'équation de cercle est alors

en posant, comme d'habitude, c2 = a- — b2. L'équation d'une sphère S est de la forme

x-~ y --h z2 — lax cos z — '^by sin z — - 8 =0.

Z étant déterminé par la condition d'orthogonalité avec le cercle (5o) :

«2î2 t. - ■> \a cosœ = — b2 -^- 0.

De là, on tire 0 et portant dans l'équation ci-dessus, on obtient

a"- z2 ( ji) x2 — y2-\- z2 — ia(x — £•) cosç — > bj- sin z H- b1 — = o.

(') On en conclut, comme au n° 577, que les cyclides à point double sont des podaires de quadriques. Le cône des tangentes au point double I' est supplémentaire du cône circonscrit à la quadrique à partir du point P. Tout cela peut se vérifier analyliquement, en formant léquat.ion tangentielle de l'anupodaire de la cyclide ( cf. n° 577 ) .

nées SOI

L'enveloppe de celte sphère a pour équation (n° 272 (52) lx*~-y*+z^bï -f-\ =4a*(a? — 02"l-4*2r2

ou, en ordonnant et posant m = — ">

— ■>.( ni- — b* is2— 8/naca? -f- />iv — 2/n2| a2 -1- c2)-!- è4 = o.

Telle est l'équation de la cyclide de Dupin. Elle est bien de la forme (4o).

58d. Indiquons maintenant quelques propriétés.

D'abord, la sphère (5i) pas-e par deux points fixes a et b. dont les coordonna ;. o. w = — b[/ —, — I1' Ces deux points sont sur l'hyperbole H focale de E (n° 52.') l. Chaque cercle caractéristique T passe par ces deux points n 280). La tangente at en a à T est la caractéristique du plan tangent en a à S ('). Ce plan tangent est perpendiculaire à au; il enveloppe donc le cône supplémentaire du cône de sommet a et de base E. Or, celui-ci est de révolution, puisque a est sur ia focale de E 1 n° o2-l 1 : donc, aussi le cône engendré par at. L'axe commun des deux cônes est la tangente oT à M. \ou- avons finalement la proposition suivante :

Théorèmi:. — La cyclide peut être engendrée par un cercle F, c/ ni passe par deux points fixes a et b de la focale de E et coupe celte focale sous un angle constant.

Ces points a et b sont des points doubles de la cyclide.

5S6. L'équalion (53) ne change pas, si l'on v change y en ;. c en 1. a en c, c en a et b en ib. On en conclut que la cyclide est susceptible d'un deuxième mode de génération, se déduisant du premier par les changements ci-dessus.

Il esl ai-é de voir que l'ellipse B devient l'hyperbole 11. Quant aux points a

et b. ils deviennent les points a', b' de E, dont l'abscisse commune esl :' — m — «

Le cercle C devient un cercle C, focal de H et dont le centre P' e-t la projection de a' et b' sur Ox. D'où :

Théorème. — La cyclide précédente est aussi l'enveloppe d'une spht dont le centre m' décrit l'hyperbole II et qui reste orthogonale à un cercle focal C de cette hyperbole. L'Ile peut également être engendrée par un

(') r est l'intersection de den\ sphères S infiniment voisines; donc at est l'intersection des plans tangents à ces sphères.