COURBES ET SUBFACES DU TROISIÈME ET DU QUATRIEME DEGRÉ

cercle T'} gui passe par deux points fixes a et b' de E et qui coupe E sous un angle constant.

587. La cyclide est tangente à la sphère S le long du cercle Y. Les normales en tous les points de ce cercle passent donc par le centre «» et engendrent un cône (de révolution). II s'ensuit que V est une ligne de courbure (n° 346). De même, les cercles 1" constituent l'autre famille de ligne- de courbure. Ils coupent donc orthogonalement les cercles T.

Soit M un point de rencontre de V et u". La normale en M à la cyclide passe par les centres 10 et w' de S et de S'. Donc, elle s'appuie à la fois sur E et sur H. Les points w et <o' sont les centres de courbure principaux relatifs au point M. Le< sphères S et S' sont tangentes entre elles. Donc, chaque sphère S est tangente à toutes les sphères S' et vice versa.

On démontre que toutes ces propriétés sont caractéristiques de la cyclide de Dupin : c'est la seule sur/ace à lignes de courbure circulaires ou dont les normales s'appuient sur deux courbes; enfin, elle peut être définie comme enveloppe des sphères tangentes à trois sphères fixes.

T>88. Appliquons à la cyclide | 53) les résultats du 11" 382. L'équation (46) se réduit à

(a.ij — -y — C-+- — = o.

Le lecteur vérifiera qu'elle admet les racines — A' et — A', auxquelles correspondent la famille des sphères S' et la famille des sphères S. La somme des trois racines étant — A, la troisième racine est

Il lui correspond une famille de sphères S" bita/igentes, dont le lieu des centres est la quadrique

m- m- — c- m- — ai

qui admet E et H pour focales. Les sphères S" sont orthogonale-, à la sphère Z dont l'équation est

ac

et qui passe par les quatre points doubles a. b. a', b'.

589. Tore. — On appelle tore la surface de révolution engendrée par un cercle Y qui tourne autour d'une droite située dans son plan.

(J11 CHAPITRE XXXVIII. — COIRBES ET SI RFAOES DU 3e ET DU 4* DEGRÉ.

( >n [teut aussi le considérer comme étant X enveloppe de la sphère S décrite sur Y comme grand cercle.

Le centre w de S et Y décrit un cercle E. En outre, cette sphère et ce cercle rencontrent l'axe de révolution Oz en deux points fixes a et b. On peut donc considérer le tore comme une cyclide de Dupin; il correspond au cas où l'ellipse E de? numéros précédents est un cercle. L'hyperbole H est alors la droite Oz; les cercles Y' sont les parallèles et les points a', b' sont leurs points cycliques communs. Les sphères bitangentes S" ont leurs centres sur une quadiique Q de révolution, admettant le cercle E pour focale, c'est-à-dire le centre oj de Y comme foyer de sa méridienne. Elles sont orthogonales à la sphère S décrite sur ab comme diamètre; autrement dit, elles admettent a et b comme points conjugués; ou bien encore, le centre O de la surface a même pui-sance par rapport à chaque sphère S" et par rapport au cercle générateur.

Parmi les sphères S ", il v a les plans bilangents. qui sont les plans perpendiculaires à chaque plan méridien menés par les tangentes issues de O au cercle générateur de ce plan. Comme chaque sphère S . chaque plan bilan gent coupe le tore suivant deux cercles ('). Cette propriété est ordinairement connue sous le nom de théorème d')\on Villa/ ceau.

Si l'on prend pour axe des z Taxe du tore et pour plan des xy le plan du cercle E, si l'on appelle, d'autre part, a le rayon de E et II le rayon de T, l'équation d'un cercle méridien du plan des zx est

x- -+- 52 — xax -+- a- — R2 = o.

En v remplaçant ./ par y/.r--|- y- ( n° 360), nous obtenons Yéquation du tore (cf. Chap. XXV. Exercice résolu n° 2) :

(a'2 + /2-^- zn-~r <(>— H* ,1— 4a*(a7* + j^) = o

(5;) (a7*-t-.y»-4-*")»-2Ca>+R*)(af*^-^«)

(') Un plan quelconque de l'espace coupe suivant une quartique bicirculaire. I n plan tangent coupe suivant une quartique à trois points doubles, donc unicursale. Un plan hitangent coupe suivant une quartique à quatre points doubles, donc décomposée en deux coniques se rencontrant en ces quatre points, c'est-à-dire en deux cercles passant par les deux points de contact.

COURBES CYCLOÏDALES

o90. Etude géométrique phélimijvaire. — On appelle courbe cycloïdale la courbe Y engendrée par un point quelconque P du plan d'un cercle G', appelé cercle roulette, qui roule sans glisser sur un cercle fixe G appelé cercle base.

Ces courbes ont une certaine importance en Cinématique, particulièrement dans la théorie des engrenages. Elles intéressent aussi les géomètres par leurs nombreuses et élégantes propriétés.

Nous allons commencer par en faire une étude géométrique sommaire, qui simplifiera l'étude analytique plus complète que nous entreprendrons ensuite.

591. Appelons R le rayon du cercle G et R' celui du cercle C. Le premier sera supposé essentiellement positif. Quant au second, nous conviendrons de lui donner le signe -f- ou le signe — . suivant que les deux: cercles sont tangents intérieurement ou extérieurement ('). Il revient au même de poser R'=OM {fig- 69), la ligne des centres 00' étant orientée par la demi-droite OX qui va de O au point de contact M. Nous poserons, en outre,

Appelons 0 l'angle dont a tourné OX. à partir d'une position initiale quelconque Oa?, le plan étant supposé orienté dans un sens choisi une fois pour toutes. Considérons les mouvements des deux cercles par rapport à un plan qui serait entraîné par OX ou, comme nous dirons, pour abréger le langage, les mouvements par rapport

(!) Si l'on considcre les cercles comme des cycles (n° 168), ils doivent toujours ctre tangents et non semi-tangents.

à OX. Ces mouvements sont des rotations des cercles autour de leurs centres respectifs, c'est-à-dire des glissements des cercles sur eux-

Fig. 69.

mêmes. La longueur d'arc qui passe en M doit toujours cire la même pour les deux cercles, le passage se faisant en outre dans le même sens ('). Il s'ensuit que les angles dont tournent les deux cercles sont en raison inverse de leurs rayons; «le plus, les rotations ont lieu dans le même sens ou dans des sens opposés, suivant que les cercles sont tangents intérieurement ou extérieurement. Dés lors, si le cercle < ! tourne de l'angle algébrique a, le cercle C tourne de l'angle algébrique—- En particulier, si l'on compte les rotations à partir de la position initiale envisagée plus haut, on a a = — 8 et l'angle dont a tourné une demi-droite O'a entraînée par C est — ■ — Si l'angle de OX avec ()'). était primitivement to, il est devenu

(ox. O'à)

( ' ) Le lecteur n'a qu'à se figurer que les deux cercles sont des roues dentées engrenant en M.

COUHBES CVCLOIDALES. G >. 5

En particulier, pour 6 = ±m-, il devient ta — 2-; donc O'Xreprenc! la même position par rapport à OX, ainsi que tous les points I* entraînés parle cercle C.

Si le roulement continue, les nouvelles positions du cercle C dans le plan de C se déduisent évidemment des précédentes par une rotation de Fannie 2 hit: autour du point O. Toutes les courbes cycloïdales se superposent donc à elles-mêmes cpiand on les soumet à une telle rotation. Nous dirons c[ii'el/es admettent la période angulaire im~. La portion de courbe décrite pendant une période, c'està-dire quand 0 croît de 2/11-. sera appelée une boucle.

Si le roulement se poursuit indéfiniment, le point P décrit indéfiniment des boucles. Pour que la courbe se ferme, il faut et il suffit que la période 2///- soit commensurable avec la circonférence 2-, c'est-à-dire que m soit commensurable. Si m est égal à la

fraction irréductible — , la fermeture se produit au bout de a boucles

ou p tours complets autour de O. Si m est incommensurable, au bon' d'un grand nombre de tours, la courbe remplit pratiquement tout une couronne, si son trait a une épaisseur finie. Elle est évidemment transcendante, car elle coupe en une infinité de points tous les cercles de celte couronne.

59ï2. Considérons une deuxième demi-droite O'X faisant avec O'X un certain angle ©. Soient ( )\ et OX' deux positions de OX dont le^

angles H diffèrent de ///s. D'une façon précise, si '.O'X, O A j = es, nous prenons 9' = 0 -j- mz>. La formule (2) nous donne alors

,OX', O'À'J = 10 + 0 - =w =kO\. O'/J.

Donc, la position de O'X' par rapport à OX' est identique à la position de O'X par rapport à OX. Il résulte de là que les courbes décrites par les points de O'X' se déduisent des courbes décrites par les points homologues de O'X par la rotation qui amène OX sur OX , c'est-à-dire par la rotation mro. Autrement dit, deux courbes cycloïdales sont égales quand elles sont décrites par des points situés à la même dislance du centre du cercle roulette.

On peut donc se borner à étudier les courbes décrites par les points P d'une seule demi-droite O'X, déterminée, par exemple, par Haag. : Cours, II. 4"

GaG CHAPITRE xxxix

a condition co = o. Nous poserons | ' i

Si le nombre e, que nous supposerons positif, est égal à i . le poinl I' est sur C ; la eourbe est appelée épicycloïde ou hypocycloïde, suivanl ([ne le cercle C est extérieur ou intérieur à G, c est-à-dire, suivant que O' est extérieur ou intérieur au segment OM, ou enfin suivanl que m est extérieur ou intérieur à l'intervalle (o,

Si e i . P est intérieur à G', la courbe esl appelée épicycloïde ou hypocycloïde raccourcie. Si c ; ..... i . P est extérieur à G', la courbe est appelée épicycloïde ou hypocycloïde allongée.

Une courbe çycloïdale esl entièrement définie, m déplacement près, par les trois nombres

593. Appelons droites principales d'une courb< çycloïdale T les positions de OX. pour lesquelles le poinl P se trouve sur cette droite. D'après (2), elles sont données par

m ou

(5) G = m «> — km t..

/.étant un entier quelconque. Deus droites principales consécutives font un angle égal à une demi-période < - 1.

Les droites principales sont des axes de symétrie. En efiet, considérons une position C', du cercle C', pour laquelle I' se trouve en I', sur la droite principale OX4. Faisons rouler C successivement dans le^ deux sens et sur une même longueur il are : nous aboutissons en deux positions du point P, qui son! évidemment symétriques par

(') Le nombre a devrait êt,re supposé positif, si l'on prenait :(Te ivemenl I' sui »• À. Mais, il peut èire commode de ne pas s'astreindre à cette restriction et d'introduire, comme nous l'avons fait, la mesure algébrique O'P. !.<■ changement de signe de a équivaut au remplacement <le O a par la demi-droite opposé* esl ■> dire à une rotation de ni ~.

(- ) Si m est commensurablej l<- nombre des droites prin» ipales esl égal au nombre des boucles, si ce nombre esl pain 11 en est le double, si ce noml re esl impair.

COURBES CVCLOID.VLES. b2y

rapport à OX, (fig. 69). Comme ces deux positions apparliennenl à F. < >\, est bien un axe de symétrie de cette courbe.

Les points tels que I', sont, les sommets de la courbe. Ce sont les points les plus éloignés du cercle I) décrit par O'. Il- correspondenl aux maxima et minima du rayon vecteur OP; par exemple, OP, cs\ un minimum et OPo un maximum (fig- *>•) I.

D'après la théorie du centre instantané de rotation (t. 111 1. la normale en un point quelconque P de T est MP (cf. n° 595). En particulier, les normales en P, et P2 sont M, I', et M2PJ, c'est-à-dire les droites principales. Toutefois, dans le cas d'une' hypocycloïde ou épicycloïde, l'un de ces deux sommets, par exemple P,. se trouve sur C et, par suite, confondu avec M, : la normale M,P, esl alors indéterminée. Nous verrons que la droite principale OP, esl non plus la normale, mais la tangente ( n" 595 >.

Pour connaître la forme de la courbe I\ il suffit de construire la demi-boucle P) P.. el d'achever la boucle par symétrie. Cette forme peut varier beaucoup, suivant les valeurs de m et surtout de e. Elle e-t étudiée en détail dans les Exercices proposés n ' 8 ) 1 l.

5',)i. Autre mode de génération'. — L'angle pofaire t de O'X par rapport

à « ) x est donné par la fur mu le de Ghasles et la formule ( 1 ). En supposant oj = o,

nous a vous

en posant

I »ii déduit de lu que toute courbe eycloïdale peut être engendrée <\<- la manière suivante :

Un point V décrit un cercle E d'un mouvement uniforme 1 '); en même temps, ce cercle E est animé d'une translation telle cjue son centn 1 I décrive uniformément un cercle fixe D, de centre ' '. La courbe décrite par P dans te plan Jixe du cercle D est une courbe cj cloïdale.

Avec le- notations précédentes, le rayon du cercle E est (8) a — em R.

I No a s employons ces expressions cioémaliques pour faciliter le langage. .Mais. est bien évident que la notion de temps n'a rien à voir dans la question.

el celui du cercle D est

En outre, quand O' tourne de 6 sur D. P tourne de nO sur E; le rapport des vitesses angulaires sur E et sur D est n.

On remonte de ce nouveau mode de génération à l'ancien par les formules inverses des formules (7 ). ( 8) et (9). soit

R = frfi

an

On peut, sans changer la courbe, intervertir les rôles des deux cercles D el E. En effet, si l'on achève le parallélogramme 00' PO", le point O" décrit un cercle D' égal à E et de centre O, comme P décrit E et P décrit un cercle E' égal à D et de centre O", comme O' décrit D.

Ceci nous prouve que toute courbe cycloïdale peut être engendrée de deux manières différentes au moyen de ce nouveau mode de génération el, par suite, aussi avec l'ancien. Les nombres caractéristiques RI; nii, e\ de la

seconde manière sont obtenus en changeant a en b. b en a et n en — dans (101;

on trouve ainsi, entre les nouveaux nombres et les anciens, le» relations (11) »h-imi = i, Rj^eR. eei=i.

Si l'on change m en 1 — m et e en -> mais sans changer R. on obtient une

nouvelle courbe F, homolhétique de V dans le rapport -• Ceci s'interprète

géométriquement <!e la manière suivante : Prenons 0\ symétrique de O' par

rapport au milieu I de OM {fîg. 70), pui- P] tel que

o; Pi

Fi g. -o.