MP O.- P

Considérons enfin. les cercles C et C, passant par M et de centres respectifs O'

et Oj. Si ou les fait rouler sur C. les points P et l'i décrivent des courbes

.... ol7; O'M Ô\Ft

liomothetiqites, le rapport dliomoluetie étant -=- = -=- = »

OP OP <>',iM

Dan^ le cas particulier où e = i, on a aussi e, = i, P et Pj coïncident avec M

et décrivent la même épicycloïde ou hypocycloïde.

On peut conclure de là qu'on obtiendra, à coup sûr, toute» le- courbes

cycloïdales, en ne considérant que les valeurs de m inférieures à - nu. -i

courbes cycloïoales. ùi<)

l'on veut, en assujettissant le cercle roulette à ne jamais contenir le centre du cercle base (1).

59o. Etude analytique. — Prenons pour ;i\o d<- coordonnées deux diamètres rectangulaires du cercle base, l'axe Ox étanl le même qu'au n° o91. En projetant le contour 00' P sur les axes, on a, d'après i 6 l, (8) et (9 1,

( x = llf ( 1 — m) gosG -+- em cos/iOl, (m)

( >• = R[( 1 — m ) sin 0 — em sin «0 ].

Telles sont les équations paramétriques de la courbe .

Cherchons la tangente en P. A cet effet, différentions les équations ci-dessus :

( dx = — R(i — /n){sin 0 — e sin nO ; r/0.

( dy z=z R ( 1 — »i)| cos 0 — e cos « 0 1 r/0.

^ éritions que la normale passe par l<j point M < Pv cos8, B sin 9 >, c'est-à-dire que l'on a

(14 ) {x— R cosO) *£r -+- 1 >• — R sinO) c/k = o.

En utilisant les formules (12), on trouve (ii) .r— Rcos6= jr-> r — Rmii<) = -

En portant dans (i4)i on obtient une identité.

Etudions plus particulièrement le cas des épicycloïdes et hypocvcloïdes, caractérisé par e = 1 .

Les formules (i3) s'écrivent

' dx . . 0 / 1 \

— - = •> R( m — il sin cos I 0,

{dy D/ 0 . / 1 v

-V — 2 R( m — 1 1 sin sin 1 0.

rfo 2 /» V 2 /» /

(') C'est seulement dans celte hypothèse que nous emploierons les qualificatifs allongée et raccourcie pour caractériser les inégalités e > 1 et e < 1.

Si l'on ne fait aucune restriction, la troisième formule (11) nous montre qu'une courbe cvcloïdale peut être considérée à la fois comme allongée et raccourcie.

fi •;., CHAPITRE XXXIX.

On \<>it que l'angle polaire de la tangente est

■un

i! esl égal . la demi-somme des angles polaires de OX et O'à : donc.

la tangente QT esl parallèle à la bissectrice de l'angle XO'X. < >n en conclut qu'elle passe toujours par le poinl T diamétralement opposé ;; M >ur G' {fig. 69), conformément à la propriété de la normale vérifiée plus haut. En particulier, au point Q,, la tangente esl OX,. Gomme, en ce point, le rayon vecteur OQ esl maximum (hypocycloïde) ou minimum (épicycloïde), on a nécessairement un rebroussement.

Lorsque H varie de 0 à m-, a varie de 0 à 0 - 7* On vérifie qu'au

sommet Q2, la courbe est normale à la droite principale OX2 {cf. n° 593). En outre. <>ti en sait assez pour avoir une idée de la forme de la demi-boucle QiQ2. La figure 69 montre une boucle complète d'épicycloïde en trait plein el deux boucles d'épicycloïdes allongée el raccourcie en trait pointillé.

.')!IG. La tangente QT rencontre le cercle F l fig. 69) au poinl T. Le deuxième point di" rencontre T' est en relation très simple avec le premier.

v"ii ts l'angle polaire de l'un <>u de l'autre. < >n doit pouvoir délerminei / <!

manière à avoir les égalités

./• -+- À cos 7. — l\( 1 — -in) )cos<p. y -- /. sin y. = K 1 1 -a m isin ç ou, en remplaçant x, y el -v. par leurs valeurs el divisant par l!.

L ( r — m icosO -+- m cos I 1 ) 0 -+- =r cos ( 1 ) ( ) = t 1 — >t>> icoss,

( i — m) sin 8 -i- m sin ( 1 ) 0 — — sin ( 1 10 =(1 — 2 m (sin s.

m ) \\ nm J

éliminons /.. en multipliant la première équalion par sin l 1 10, la

seconde par cos ( 1 ) 0 et retranchant ; il vient, tous calculs fa ils,

m 8 i 1 — )— c \ — — sin :

COURBES CYCLOÏIULE'. <>3l

lin Les angles polaires des deux points T et T' sont finalement

Il sont liés par la relation linéaire 1 19 i (m — 1)0 — m:';- m -.

Réciproquement, si /es angles au centre de deux points T et T' rf 'un même cercle F 50/// liés par une relation linéaire, la corde TT" enveloppe une épicycloïde ou une hypocycloïde.

Car. en changeant au besoin l'origine des angles et choisissant convenablement m, on peut toujours identifier une telle relation avec la relation (19).

Cette propriété est en corrélation étroite avec la double génération signalée ;iu n° 594 {cf. Exercice proposé au n° 14 1.

o97. Abc, courbure, développée. — La courbe étant orientée (M par l'angle polaire a de >a demi-tangente positive, l'abscisse curviligne s du point Q est donné.-, d'après 1 1 5 ), par la formule

(20) rfê = 2R(w-I)suw

Intégrons, en choisissant Q, pour origine des arcs : (11) j={Rmfni-i)(i- cos ) = 8Rmi m — ijsin5-

La longueur d'une boucle est obtenue en faisant H = imr.. ce qui donne 8Rra(m — 1 ).

Le rayon de courbure p est, d'après (20) et (16),

ds in m(m — 1 ) . 0

( 2,%) 0 — —. - = 4 K sin

; di. ini — 1 nm

Comparons-le avec QM. On a

QÏÏcos/'z — - J = Rcos6

(*) Sur la figure %. la boucle QtQ2Q3 est orientée de Q! vers Q,. dans le cas de l'épieycloïde et de Q3 vers Q,, dans le cas de l'hypocycloïde.

ou, en utilisant i i ('),

-—-. . m dy m I i \

— QM «in a = ^- = s s 1 1 1 a . [ i — ■ |

m — i ciH m — i uni /

d'où

Donc, le centre de courbure divise le segment QM dans un rapport constant < cf. Exercice proposé n" 7).

Les coordonnées (.r,, yt) du centre de courbure sont données par les formules

\ï i i .rt = .v — psin?., yx = }' ■+ p cosa.

On trouve, tous calculs faits ('),

I xt = ( ni — i ) cos 0 -r- m cos ( i — — ) 0 ,

) îffl-i [v m / J

I y, = h ni — i ) sin8 -4- m sin( ( — — ) 0 .

{ uni — i [ m j J

On remarque tout de suite l'analogie de ces formules avec les formules (12), où l'on a fait e = i. Les crochets sont les mêmes, au Mi;ne près de l'un des termes. On peut penser, dès lors, qu'il existe une relation géométrique simple entre les deux courbes représentées par les deux groupes de formules.

Effectivement, si Ton change, dans i 2") 1, 0 en 8 + m~, on obtient, tous calculs faits,

a"cos~/n rsin-m xsinr.w - ycosizm

.r, b= > ri = ■—

Ces formules montrent que le point (r,, yt ) se déduit du point (./\ j ) par une rotation de l'angle -n) suivie d' une homothétie de rapport ■ On conclut de là que toute hypocycloïde

(') Dans ee calcul, on remplace les produits

in sin 1 — U et 2 sin cus( 1 —

par des différences de cosinus ou de sinus. selon ks formules élémentaires classiques.

COI'IIBES CVCLOIUALES.

ou êpicycloïde est semblable à sa développée (cf. Exercice proposé n" 7 du présent Chapitre et Exercice résolu n° G du Chapitre XXI i.

o98. Cas pauticuliebs divers. — I : m = — i: limAçoh de Pascal.

— Si m = — i , le cci rie C est égal au cercle < '.. sur lequel il roule extérieurement I fig< 71). A chaque instant, les deux: cercles sont

Fie. 71.

symétriques l'un de l'autre par rapport à leur tangente commune. O étant symétrique de M,, O' de O et P du point fixe P, de OM,. 11 s'ensuit que le lieu du point P est homothétique. dans le rapport 2, de la podaire de C par rapport à P,. C'est donc un limaçon de Pascal (n° 578). En particulier, V épicycloule à un rebroussement engendrée par le point Q n'est autre que la cardioïde.

Si l'on applique au cas particulier actuel les propriétés générales établies précédemment, on obtient des propriétés nouvelles du limaçon de Pascal et surtout de la cardioïde. Nous laissons au lecteur le soin de les én( tncér.

599. II : m = -: ellipse. -- Si m = -, le cercle C a pour rayon •2 2 1 «/

la moitié du rayon de C. Le roulement est. en outre, intérieur, de sorte que G passe constamment par O < fig. 72 |.

(V5 ', chapitre xxxix.

Les équations ( 12 ) deviennent

x = — (1 -h e) coso, y — — (1 — e) sm'i.

Les courbes Y sont donc des ellipses.

L' hypocycloïde à deux rebroiisscments, obtenue pour y = — , est le diamètre M, M, du cercle G.

Tout cela est évident géométriquement. En effet, l'angle au

centre MO Q est double de MOM,. puisque les arcs MQ et MM, sont égaux et que le rayon de C est la moitié du rayon de C. D'autre

part, l'angle inscrit MOQ est la moitié de l'angle au centre MO'Q.

11 est donc égal à MOM, et, par suite, Q se trouve sur OM,.

Le point Q décrit Or. car l'angle QOQ' est droit.

Quant au point P, il décrit une ellipse d'axes 0;r et Or. en vertu du n" oiO.

Si l'on prend le point P n'importe où dans le plan de C ', on obtient encore des ellipses, conformément à la généralisation du n° 540.

En appliquant la propriété générale du n° 595. on obtient une construction très simple de la normale PM à l'ellipse décrite par le point P (cf. n° 540).

600. III : m = -; hypocycloïde a ouatre rebroussements. Le cercle G est le - du cercle G, sur lequel il roule intérieurement. Occupons-nous seulement de l'hypocycloïde et faisons m = - et

e = i dans les équations (12). Il vient, en exprimant cos38 en fonction de cos8 et sin3^( en fonction de sinO (t. III ).

(26) ./• = Rcos:i0, jK = Hsin50.

On en déduit immédiatement l'équation ponctuelle de la courbe

I 27) xj -+■ y* —- l\*.

La formule (16) nous donne ç = — 0; d'autre part, nous savons que la tangente en Q passe par le point ï, qui est milieu de OM. On

COIRBF.S CYCI.QÏDÀLE8. 6)5

conclut manifestement de là que cette tangente est la deuxième diagonale du rectangle qui admet OM pour première diagonale et dont

les côtés sont parallèles à Ox et à Q y. Cette diagonale a pour longueur R; donc, V kypocycloïde à quatre rebroussements est Venveloppe d'une droite de longueur constante qui s'appuie sur deux

droites rectangulaires fixes.

(501. IV : m

; HYPOCYCLOÏDE A TROIS REBROUSSEMENTS.

cercle C est le - du cercle G, sur lequel il roule intérieurement. En taisant m = ~ et e = i dans nalona

a? = — (2 cosO -+- C0S2O ), y

i 2 sinO — sinsO).

En posant tang - = t, on constate que la courbe est unicursale et du quatrième degré. En appliquant la formule de Pliicker (n° 212 i, on en conclut qu'elle doit être de troisième classe. C'est ce que nous allons vérifier, en formant son équation taagentielle.

Cherchons, au préalable, l'équation de la tangente au point P, de

la tangente peut, dès lors, s'écrire

Chassant les dénominateurs et remplaçant x, y par | 28 1. on trouve, après un calcul facile.

A sin — b \ cos — s:n — = o.

L'équation tangentielle cherchée s'obtiendra en éliminant H entre

-in— cos— — sin —

En s'appuyant sur la formule

•36 . e / .,0 . ,0\ sin — = sin- | 3 cos2- — sin2- »

l'élimination est immédiate et donne

(3o) in it--r- e-)-;- Rk ( r'2 — — - j o.

L hvpocycloïde à trois rebroussements est donc bien une courbe de la troisième classe.

L'équation (3o) n'a pas de terme en (V3, ni en o -. La droite de l infini est donc une tangente double. Les deux points de contact s obtiennent en annulant le coefficient de w I a' 299 . ce qui donne

it2-f- Ps= o, équation tangentielle des points cycliques.

602. Nous allons démontrer que, réciproquement, toute courbe de troisième

classe bitangente à la droite de Vin fini aux />"inls cycliques est une hvpocycloïde à trois rebroussements.

Une telle courbe a taie équation tangentielle de la forme

(3i) w\ u"- — p2)-H/(Mj p) = o,

/ désignant un polynôme quelconque homogène et du troisième degré en u. v, soit

(3a) /(«, v)= Attr+Btt>f + C«p!- l>>;.

Il s'agit de montrer qu'en choisissant convenablement les axes de coordonnées, l'équation (3i) peut se mettre sous la forme (3o). Or, si nous portons l'origine au point (.r0, y0) et si nous faisons tourner les axes de l'angle tp, les formules du changement de coordonnées en tangentielles sont (Ghap. I\. Exercice proposé n" 9),

u' = u costp ■+- v sinçp, v' = — u sin cp -+- v co> ç , w' = w -+- ».r0 + ri,,.

En remplaçant u, c, w par ces expressions dans (3o), nous devons obtenir

COURBES CYCLOÏDALES. 63?

l'éqtiation (3i). Eu faisant le calcul et identifiant, on obtient, pour déterminer les quatre inconnues a?o, y0i ©, R, les quatre équations

A = j?0-+- — cus'i( 3 sin2o — cos2s),

B = y<s-+- R sinç>( sin2ç — 3 c<>s'2o ), C = a"0-f- R c<>s z ( cos2o — 3 sin2 ep),

En multipliant la première par 3 et ajoutant à la troisième, il vient

En combinant de même la deuxième et la quatrième, on a

Si nous retranchons maintenant la troisième de la première et la deuxième •le la quatrième, nous obtenons

l A — C = - R cos«p(3 sin2ç — cos2cp ). f D — B= - R sincp(3cos2o — sin- es 1.

qui doivent nous donner R et cp.

En éliminant R, on a l'équation eu o :

Elle est homogène et du troisième degré en siritp, cosçp et donne trois valeurs pour tangçp, qui correspondent évidemment aux trois tangentes de rebroussement de l'hypocycloïde ( ' i.

Elevons au carré les deux équations (35) et ajoutons, il vient, après un calcul facile.