A-C)2-HD -B)2=— R
En définitive, l'identification projetée est possible et l'équation (3i) représente bien une lïypocycloïde à trois rebroussemenls, dont les coordonnées du centre et le rayon du cercle base sont donnés par les formules (33), (34) et (3j), les trois tangentes de rebroussement étant données par (36).
(') Ces trois tangentes doivent former un faisceau régulier. L'équation (36) doit
donc être de la forme tang3? — k. hflcctivement, elle peut s écrire tangat? = .__.-. •
<V;s CHAPITRE XXXIX.
603. La tangente à la courbe (3i) qui a pour coefficîenl angulaire m ;i pou r équation
y = mx — — — .
Elle est de la forme générale
z>( m ) ( 38 ) y — mx ; ,
C5| m | désignant un polynôme quelconque du troisième degré en ///. L'enveloppe d'une droite dont l'équation est de cette forme est donc toujours une hypocycloïde à trois rebroussements. Ceci esl un moyen commode de reconnaître de telles enveloppes.
60-i. Dans le cas <\r l'équation | 3o >. l'équation 38 i s'écrit
(39) Wm('^-x)
ou encore
i i<> ) (a? -H — 1 m*— m-y — nu K — x I — y '= o.
( - < * 1 1 e équation du troisième degré en m donne les tangentes issues du point P( x,y). En écrivant qu'elles une racine double, on « » 1 > i ï » ■ i i drait l'équation ponctuelle de l'hypocycloïde. En écrivant qu'elle a une racine triple, on obtiendrait ses trois points de rebroussetnenl i ' <.
Cherchons le lieu des sommets des angles droits circonscrits. \ cel effet, nous écrirons C|ue l'équation | {o i a deux racine.-. <\r produit -i. Le produit des trois racines étant — • « la troisième
racine est — : — -. Portant celle valeur dans i (o), il vient, tous
calculs faits,
' i" ** KT^C? I •
En (disant le même calcul pour l'équation généra Ii 18). on .i un pi pour trouver la position de l'hypocycloïde définie par cette équation.
COURBES CVCI.OÏDALES. 63g
C'est l'équation du cercle tritangent. Donc :
Théorème. — ■ Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une hypocycloïde à trois rebroussements est son cercle tritangent (').
L' hypocycloïde ù trois rebroussements possède encore beaucoup d'autres propriétés élégantes, mais dont le développement nous entraînerait trop loin i - ».
GOo. Gycloïde. - Etudions maintenant le cas particulier où la courbe roulette est un cercle C et la courbe base une droite, que nous prendrons pour axe des x i fig. ~\ i.
Fi?.
Soit Q le point du cercle G, qui se trouve primitivement en O. Appelons H l'angle ' O'Q, O M '. On a. en grandeur el en signe,
ÔÂÎ = P.O.
Soit, d'autre part, 0'P= a.
Pour avoir les coordonnées du poinl P, projetons le contour OMO P sur les axes; il vient, en remarquant «pie 1 angle polaire de
la demi-droite O '() c>t. d'après la formule de Chasles, — - — 0.
(\'i) .r=K0 — rtsinO. y = |{ — «cosO.
606. Tous les points 1* situés à la même distancé a de O' engendrent des courbes se déduisant de l'une d'elles par des translations
,l) En cherchant ce lieu à partir de l'équation (38), on a un autre procédé pour i il e n t i lier l'hypoej ctoïde.
(■) Cf. Exercice résolu n 3 et Exercices proposés n s 27 à 31.
G4o CHAPITRE XXXIX.
parallèles à Ox. Car, remplacer P par P0 ( fig. -\ | revient à remplacer O par O0 tel que OO0=QQ0; de sorte que la courbe décrite
par P0 se déduit de la courbe décrite par 1* par la translation OO0.
La courbe entière décrite par P dans un roulement indéfini se déduit de la boucle (A) engendrée pendant un tour complet par des translations parallèles à Ox et d'amplitudes égales à tous Les multiples entiers de >r.l\. Cela est évident géométriquement et on le vérifie analytiquement en changeant 0 en 9 + 2- dans | \± i.
On voit également, soit géométriquement, soit en changeant 0 en 2- — f), qUe la droite x = nR est un axe de symétrie de (A), de sorte que la construction de la courbe totale se ramène à celle de l'arc (Ai engendré par une demi-rotation, c'est-à-dire en faisant varier h de o à -.
Lorsque H croit de o à -. y croît de R — a à I \ + a.
Pour avoir les variations de x. il nous tant prendre la dérivée
dx
— R — a cosO.
Si a P<- cette dérivée est toujours positive; donc, .r croît constamment, depuis o jusqu'à II-. La courbe a la forme indiquée en trait pointillé par la Ggure -\.
On l'appelle cyclo'ide raccourcie.
Si a R, la dérivée -n- s'annule pour une valeur 0, donnée par
cos8j
On a le Tableau ci-dessous
D"où la courbe en trait pointillé de la ligure -j: elle est appelée cycloïde allongée (*).
Si a = P>. la dérivée -r- est constamment positive, sauf pour 0 = o3
I '■ • En réalité, eHe a subi, par erreur, une translation I'.- suivant 0.r.
COURBES CTCLOÏDALES. 64 I
qui l'annule, en même temps, d'ailleurs, que -jr - Le point 0 esl un point de rebrousse ment . dont la tangente est Oy, ainsi qu'on le
voit en cherchant la limite de — ou en se reportant au n° 607. La
courbe a la forme indiquée en trait plein sur la figure ~\; elle porte le nom de cycloïde.
