COURBES ET SURFACES DIVERSES
Dans ce ( Ihapitre, nous allons étudier quelque- courbes et surfaces classiques, qui n'mit pas encore été rencontrées dans les Chapitres précédents et qu'il est néanmoins utile de connaître.
609. Chaînette. -- La chaînette est une courbe plane définie par l'équation ( ' )
)hx
Sa construction est immédiate, puisque nous connaissons les variations de la fonction <\ix | t. 1. n° J09i. Elle a la forme indiquée sur la figure ~6. L'axe O)' est un axe de symétrie et le point V o. i i est
lu
un sommet. L'axe des x est appelé la base de la chaînette.
(') Cette équation n'est pas homogène et implique une unité de longueur particulière (n°3), qui n'est autre que l'ordonnée OA du sommet de la chaînette. Si 1< :i veut une équation homogène, il suffit d'écrire
Y = a cli - ?
a étant une longueur constante quelconque.
Calculons Varc AM = s. Nous avons
ds- — dx-(i -T- sli5/) = ch2.r. dx-;
d'où, en supposant la courbe orientée dans le sens des x croissants, l > , ds = cli ;r. dx
el , en intégrant,
'il s = slix.
L'angle polaire a de la demi-tangente positive MT est donné |>;u-
dx 1 dy
I î) cosa =•— r = — — , sina = -7- = tli a-.
7 «Y a- cli./- as
ds Cherchons le rayon de cou/bure p = -y Pour cela, il nous faut (h.. •s ' dy.
En différentiant la première formule ( i t et tenant compte de la seconde, nous avons
, , sh x dx
— t h x . dy. = — — p- — :
d' où
ax = — ; — • c h x
En tenant compte de (2) nou> avons finalement t "» 1 p = eh-./*.
Les coordonnées du centre de courbure sont ensuite ii. 1 X\=x — shrclu. y y = 2 char = iy.
La seconde formule nous montre que le centre de cou/hure ( . est symétrique de V extrémité N ûfe /« normale par rapport à M.
La développée est aisée à construire, d'après les formules ( 'i». Elle a la forme indiquée en pointillé sur la figure 76.
(HO. Tractrice, — On appelle ;iinsi la développant'' de la chaînette qui a pourpoint de dépari !<■ sommet \. Ses équations paramétriques sont, dès lors, en appelant maintenant t L'abscisse x «lu
