COURBAS KT SURFACES DIVERSES
numéro précédent,
i' CC=t SCOS'X=l — tll/.
(7) lu,
La courbe se construit sans difficulté cl a la forme indiquée, en
lit mixte, sur la ligure ~<>.
La tangente en P a pour équations paramétriques
x = t — t li / — A si n y. = t —
iht,
i . i y = — : — - — A cosa == —
À cT77 =
On remarque immédiatement que y s'annule pour X — i . On conclu! de là la propriété suivante :
La tangente PT' I huilée à la base Oxa une longueur constante.
Pour cette raison, la tractrice est appelée quelquefois la courbe aux tangen tes ég a les .
Si l'on fait X = i dans la première formule I 8 I, on obtient x=t. Donc, le point T" est la projection du centre de courbure M sur Ox.
Le triangle rectangle MT'T nous donne ensuite
FM.FF= — PJ'1^ — i :
donc, le produit du rayon de courbure par la normale limitée à la base est constant (cf. Chap. XXI, Exercice résolu n° 2 i.
011. Caténoïde. — On appelle caténoïde ou encore alysséide la surface de révolution engendrée par la rotation d une chaîne! le autour de sa base.
En vertu du n° 363 et de la propriété signalée plus haut pour le centre de courbure de la chaînette, on voit que les deux rayons de courbure principaux a1" celte surface sont symétriques ; doue, la caténoïde est une surface minima | n" 337 i. C'est même la seule surface minima qui soit de révolution, en vertu de la réciproque établie à l'Exercice proposé n° 25 du Chapitre XXI \ .
Si l'on prend l'axe de révolution pour axe des -, 1er- équations paramétriques de la caténoïde peuvent s'écrire C n" 360)
(9) a? = chttcost>, y = ch u sin r. z = 11.
Vêlement linéaire ou. distance ds des deux points infiniment \oisins (u. i>)
et (u +- du, v -r- dv i est donné par mi" 3G5)
(10) ds* = r2di---i- di2,
en appelant /• le rayon eh u du parallèle et d -7 l'arc élémentaire de chaînette donné par la formule | 2). soit >h = ch u du. Portant dans (10 1. on obtient
(u) ds2 = ch2 in dv2 ~ du"- ).
On peut faire une carte de la surface en considérant u. v comme des coordonnées cartésiennes rectangulaires dans un plan in" 400). Il s'ensuit. par exemple, que les loxodromies 1 n" 365 1. qui correspondent aux droites de la carte, ont pour équation générale
(ra) v — k(u — u0).
Ce sont les intersections de la surface par tous les hélicoïdes gauches à plan directeur d'axe Oz > n" 619 |.
En particulier, les lignes as) inptotiques. qui doivent couper à 4^" les lignes de courbure, puisque la surface est minima, ont pour équation générale
(l3) u dz v = const.
\ous laissons au lecteur le soin de vérifier qu'elles satisfont bien à l'équation générale ni 1 du n° 36i.
612. Pseudosphère. - On appelle aillai la surface de révolution engendrée par une tractrice en tournant autour cle sa base.
En vertu de la propriété énoncée à la lin du n" 010. le produit des deux rayons de courbure prineipaux esl constanl cl d'ailleurs négatif. Autrement dit. la pseudosphère est une surface de révolution a courbure totale constante et négative.
(h\ sait que la sphère esl une surface de révolution à courbure totale constante positive, ('/est l'analogie de ces deux propriétés qui a valu son nom ;'i La pseudosphère. Mais, bien entendu, aucune analogie île Corme n'existe entre les deux surfaces.
Signalons encore la propriété suivante :
Les sphères orthogonales à la pseudosphère sont égales. Cela résulte de ce que la méridienne a ses tangentes égales.
013. Spirale logarithmique. Elle est définie en coordonnées polaires par l'équation
• 1 î i p = e'"M, m = con-t.
ou
