COURUES EJ SURFACES DIVERSES

mta = log ;o,

celle seconde forme expliquant l'origine du nom donné à la courbe. Sa construction est immédiate I fig. ~~) ( ' ). Si Ton suppose, pour

Fi g. 77.

lixer les idées, m > o, p tend vers zéro, pour w = — ce. Le pôle est donc un point asymptote.

Si Von fait tourner la spirale de l'angle w0 autour de son pôle. son équation devient

gin m uw = gW(ii(| f>mw

Tous les lavons vecteurs sont multipliés par embH ; la nouvelle courbe est donc ho mothé tique de la première ( - ) dans le rapport emtù°.

La tangente MT au point M est donnée commodément par la formule (n° 252 i

tans > = —r =

La spirale fait donc un angle constant avec le rayon vecteur (3). En la faisant tourner autour de son pôle, on obtient les trajectoires sous l'angle V des droites issues de ce point < '' >.

( ') Sur la figure 77. on a pris //; = -, Y = 63°3o\

(2) Cette propriété est caractéristique {cf. Chap. \\T\ |

(3) Cette propriété est également caractéristique. ('') Cf. Kxercice proposé 11" 11 du Chapitre WIV.

Calculons maintenant l'are de spirale. On a

ds*- = df- -f- r."- d'.>"- = e2""0 ( m2 -J- i ; <r/w2 ;

d'où, en introduisant l'angle constant ^ . pour éviter le> radicaux

, , , e"'Mdoj

(17) ds

puis, en intégrant,

pllthl

ri>s \

, os \

Donc. /V//c r/e spirale est proportionnel au rayon vecteur < ' 1.

Il est à remarquer toutefois que ceci suppose que V origine des arcs a été prise au pôle et cela nous prouve du même coup que l.i longueur dure comprise entre un point quelconque et le pôle esl finie, bien que ce dernier point sôit un point asi mptote.

Calculons le rayon de courbure R.

La courbe étant orientée par lare \. c'est-à-dire, en somme, dans le sens des to croissants, si nous adoptons pour \ l;i détermination

comprise entre o el -j conformément à l'hypothèse m o, l'angle

polaire de la demi-tangente positive est

On ;i donc

ds ds

(tx dto

inV

Le rayon de courbure esl proportionnel au rayon vecteur

Projetons le rayon dé courbure MM, sur le ravon vecteur ()/.. L'angle de 0\ avec la demi-normale positive MN étant \ -» la projection cherchée a pour mesure algébrique sur O),

R cos ( V -

= - KsinV = — P= MO.

Le point M , se projette donc en 0 el l'on peu! dire que le centre de

eau hure est V extrémité de la sous-normale polaire 1 :1 1.

(') Propriété caractéristique.

(-) Propriété caractéristique. Cf. Exercice proposé n 29 du Chapitre XXIV. Propriété caractéristique. Cf. Exercice proposé n Î8 du Chapitre XXIV.