COIRISES ET SURFACES DIVERSES

L'angle M, MO étant constant et égal à— - Y. le triangle rec-

tangle M,OM demeure semblable à lui-même, quand M décrit la spirale. Il s'ensuit que M, décrit une courbe déduite de celle-ci par une rotation et une homothétie et qui est, par suite, une spirale égale à la proposée. Donc, la développée d'une spirale logarithmique est ime spirale égale.

Pour préciser davantage, cherchons l'équation polaire de celie développée. L'angle polaire oj, de Mi peut être pris égal à to -t- -• L'angle de < IXj avec MIN

= Y. Donc, la projection de MM] sur <>/.,, c'est-à-dir

OMt = p,, esi

;, — \\ cos V = p '"I \ = m p = me

de sorte que l'équation polaire cherchée esi

(l\) pj = -.g»«fc>,.

Oji en conclut, en comparant avec iiii, que la développée se déduit de la spirale par une rotation de Vangle '•>,, défini par Véqualion

e"'w. = me

loa m

01 i. Spirales d Ahchimède et hyperbolique. — La spirale d'Atchimède est définie par une équation polaire du premier degré :

Par une rotation convenable ('), on peut supposer n = o, c'està-dire prendre l'équation

La spirale e?t alors symétrique par rapport àOr. Elle a la forme indiquée sur la figure j8.

(') Celle rotation nous montre qut la spirale d'Archimède est égale à ses conchoïdes.

Pour construire la tangente en M, il y a avantage à calculer la sous -normale : p' = m. Elle est constante ( ' ).

Fig.

La spirale hyperbolique est définie par l'équation polaire : - i

m étant une constante, que nous supposerons positive. Elle admet O y pour axe de symétrie.

Si (o croît de o à -f-x. p décroît de + 00 à <>. Le pôle esl donc un point asymptote et il y a une branche infinie dans la direction ().r. Pour avoir l'asymptote de celle branche, nous remarquons que la sous-tangente en un point quelconque est constante (3) el égale à /??, en vertu de la formule (6) du 11" 2-)*2. La sous-asymptote esi donc aussi égale à ni. La courbe a la forme indiquée sur la figure 79.

Fis.

615. Hélices. - On appelle hélice la courbe que devient une droite D d un plan P quand on enroule ce plan sur un cylindre quelconque G, qui esl appelé cylindre rectifiant de l'hélice. 1 1 n a deux cas particuliers, don! nous allons d'abord non- débarrasser.

Si. pendant l'enroulement, la droite l> esl parallèle a as génératrices du cylindre, il esl clair qu'elle vienl s'appliquer suivant une de ces général rices.

Si, au contraire, D est perpendiculaire aux génératrices, elle vienl

(') Propriété caractéristique.

: 1 Elle ressemble a l'équation cartésienne d'une hyperbole rapportée à ses asymptotes. D'où le non de la courbe.

i Propriété caractéristique.