On appelle coordonnées homogènes du point M(#, /, z

tout groupe de quatre nombres X, Y, Z, T non tous nuls et

tels que

ï -ar' T ~y' T ~~ *'

Un point donné admet une infinité de systèmes de coordonnées homogènes obtenus en multipliant l'un d'entre eux par un facteur arbitraire. En particulier, en supposant T = i, X, \, Z deviennent les coordonnées ordinaires.

Cela posé, imaginons que le point M aille à l'infini dans la direction OÀ de paramètres directeurs a, b, c. On peut prendre à chaque instant X, Y, Z comme paramètres directeurs de OM. A la limite, ces trois nombres doivent donc devenir proportionnels à a. b. c. On peut même supposer qu'ils deviennent égaux à a. b. c. en utilisant

(') Ceci n'a de sens précis qu'autant qu'on suppose les coordonnées de M et, par suite, Ja distance OM fonctions d'un certain paramètre, pour une valeur particulière duquel OM devient infini (t. I. n° 58). Quand on s'abstient de fixer un paramètre, on s'imagine instinctivement un mouvement du point M et Ton choisit, en somme, le temps pour paramètre.

(5) Les coordonnées homogènes ont aussi une autre utilité, en ce sens qu'elles permettent de simplifier certaines formules de Géométrie analytique.

le facteur arbitraire par lequel on peut toujours les multiplier, en même temps que T. D'autre part, l'une au moins des coordonnées x, y. s devient infinie. Comme X, Y, Z restent tous trois finis, il faut que T tende vers zéro. Donc, lorsque le point M va à V infini dans la direction OX, un de ses systèmes de coordonnées homogènes tend vers (a, 6, c, o).

Réciproquement, si X, Y, Z, T tendent respectivement vers a, 6, c, o, comme l'un au moins des paramètres directeurs «, b, c n'est pas nul, il y a au moins une des coordonnées x, y, z qui devient infinie. De plus, les paramètres directeurs X, Y, Z de OM ont pour limites a, b: c; donc. OM a pour position limite OÀ et le point M va à l'infini dans la direction OÀ. Finalement, on voit qu'il est légitime de dire que le point à V infini dans la direction de paramètres directeurs a, b, c a pour coordonnées homogènes (a, 6, c, o).

Les coordonnées homogènes permettent donc de distinguer entre eux les différents points à l'infini, pe que ne permettaient pas les coordonnées ordinaires. Quand on emploie les coordonnées homogè/iêSj les points à l'infini ne donnent jamais naissance à aucune difficulté particulière et ne diffèrent, au point de vue analytique, des points à distance finie que par la condition T= o. Nous ferons grand usage de cette importante propriété.

40. Coordonnées polaires. — Un autre système de coordonnées très employé, surtout en Géométrie plane, est celui des coordonnées polaires.

I. Dans le plan. — Le plan étant orienté, on choisit un axe Ox, appelé axe polaire, le point O s'appelant pôle. Sur la droite OM, on choisit un sens positif quelconque, de manière à obtenir une demidroite O A. L'angle polaire 'o de cette demi-droite est appelé ['angle polaire du point M. La mesure algébrique OM = p sur O À est appelée le rayon vecteur du point M. Les nombres p et o) sont les coordonnées polaires de M.

Il est évident que la connaissance de ces coordonnées entraîne celle du point. Mais, la réciproque n'est pas vraie. A un point M donné correspondent une infinité de déterminations (') pour (p, w). Soit,

(l) La notion de coordonnées diffère donc un peu ici de celle que nous avons donnée au n* 20. Mais, cela n'a pas d'importance pratique.

en effet, /• la longueur OM. Si l'on oriente O A de 0 vers M, on a : p = r

et oj = « + 2 /,-t:, en appelant a une des déterminations de \Ox, OMJ. Si Ton oriente O A dans le sens opposé, on a

s = — r el w = a -+- (2 A: -4- i)tc.

Les différentes déterminations des coordonnées de M sont donc données par les formules

| p = — r\ w-a + (2A- + ij-.

Relations avec les coordonnées cartésiennes rectangulaires. — A l'axe polaire Ox adjoignons un axe Qy d'angle polaire — Si r et y sont les coordonnées du point M par rapport aux axes Oxy, on a,

en projetant OM et se souvenant que les cosinus directeurs de OA sont cosco et sinw (n° 29) :

(4'2) ce = pcosta. j' = psinu>.

On en tire, si Ion veut ( ' ),

jr y

(43) p=? rfcy'ar'-t-j'*, cosco = — > sinu> = —

Changement d'axe polaire. — On ne change jamais le pôle; mais il y a souvent lieu de changer d'axe polaire. Si w0 désigne l'angle polaire du nouvel axe, on peut prendre évidemment (n° 14)

p = p', oj = w0-t- w' (2).

11. Z?ems l'espace. — Partons d'un trièdre trirectangle Oxyz. Prenons sur la droite OM une demi-droite O A. Soient o, 0 ses angles polaires relativement à Oxyz (n" 30) et soit p la mesure algébrique

(') On a aussi tangw = — • Mais, si l'on a déjà choisi le signe de p. cela ne suffit

pas pour déterminer o>. Cela le définit, en ellet, seulement à k~ près, tandis que les formules (43), qui donnent à la fois coso> et sinw, le définissent à 2kx près.

{■) Nous négligeons les 2k- de la formule (21) du n- 14, à cause de l'indétermination de w et 0/ [formules (40]- De même, nous négligeons : p = — p',