COURBES ET SURFACES DIVERSES
s' appliquer suivant une section droite. Ce n'est que dans l'hypothèse intermédiaire qu'on obtient véritablement une hélice H.
Prenons pour axe des z une parallèle aux génératrices et pour plan des xy le plan d'une section droite v. Soient wX la droite du plan P qui s'enroule suivant cette section, w son point de rencontre avec D et to\ la parallèle à Oc. Nous supposerons wX orientée de telle manière que D passe dans l'angle où X et \ sont positifs. L'équation de la droite D par rapport aux ;t\es coXl est alors de la forme
■ib i Y = rwX,
m étant une constante positive.
Dans l'enroulement, le point P<X. ^ ) de la droite D devient un point M de Fhélice, dont la cote c = Y et dont la projection m sur y a pour abscisse curviligne ? — X. si Ton prend pour origine des arcs sur cette courbe le point A où vient s'appliquer to et pour sens positif un sens tel que la demi-tangente positive en À soit w\. quand w \ ient en A.
Dès lors, si nous savons exprimer les coordonnées .r, y du point m en fonction de t. comme on a. d'après (20 .
(■iCt) z = m?,
on aura finalement les 1 1< >i- coordonnées x, y, z du point M en fonction de 7 et, par conséquent, les équations paramétriques <l' C hélice H.
616. Orientons II dans le sens des 7 croissants et prenons-y A pour origine des arcs.
L'arc AM = 5 e>i égal à wP sur la droite D, supposée orientée dans le sens des \ croissants. On a donc
iin V cos \
en introduisant l'angle aigu V = Do//, dont m e>t la cotangente.
La tangente MT en M à II est. à chaque instant, la partie non enroulée de D. Elle fait donc l'angle constant Y avec les génératrices du cylindre 1 ' 1.
(') Pour la réciproque, cf. Exercice résolu n" 9 du Chapitre XXIV.
f,j2 CHVPITRE XL.
Soit a l'angle polaire, dans ./ O r, de la demi-tangente positive //?/ à y. Cet angle et V sont la longitude el la colatitude (n° 30) de l;i demi-tangente positive MT. Les cosinus directeurs de cette demidroite sont donc
(>S) « = sinVcosa, 6 = sinVsiria, r = cn-\.
Ces différentes propriétés, qui sont à peu près évidentes par la considération de l'enroulement de la droite D, sont aussi très faciles A établir, dune façon d'ailleurs plus rigoureuse, par le calcul. Ou a, en effet,
< 29 1 dx — ûfocosa, dy — (h -in a. dz —- mdz:
d'où
ds- = dx2 -4- d)1 -+- dz1 = 1 1 — m- \dz- ;
d'où la formule (27). Si l'on combine ensuite cette formule avec (29), on a (11" 193)
dx dy d:-
a = — = sin V cosa, h = —r- = sin \ si 11 st , c = -7- = cos V. r/s rfs fifa
On retrouve les formules 1 28 i.
L'indicatrice sphérique (t) cfes tangentes est un petit cercle, de centre I
sur O ^, de plan parallèle à .r Oj'ct de rayon sin Y. < Irientons-leen prenant 2 -
pour angle |>olai re de sa demi-tangente positive y.O. Les cosinus directeurs de cette demi-tangente et, par conséquent, de la normale principale .MN à II sont
(3o) a = — sin a. b' - cosa, c'=o.
('eltc normale principale n'est autre que lx normale <m cylindre C. II s'ensuit que le plan osculateur T. M IN est, en chaque point de l'hélice, normal audit cylindre. On vérifie ainsi, dan- ce cas particulier, nue propriété générale des lignes géodésiques (') (note de la page !(><>).
L'abscisse curviligne s du point ;j. sur l'indicatrice est se sin V. I.e rayon de
(') L'hélice II esi é\ ide loneni une géndesique pour le cylindre C, car elle constitue le plus court chemin entre deux quelconques de ses points M, M . puisque, dans le plan (1*). la droite I» est le pi us court chemin entre les points homologues 1', P'. Voir la réciproque dans l'Exercice résolu n 9 du Chapitre \\l\.
COtlUiES ET SURFACES DIVERSES.
courbure de l'hélice est donc
Gî3
ds ds'
si a \ .dy. sin2 V </a
in2 Y
en appelant R le rayon de courbure (Je la section droite y.
La binormale MB a pour cosinus directeurs, en vertu des formules (3y) du n" 35.
cos\ cosse, b = — cosVsina,
sin Y.
On peut en déduire, ce qui est du reste évident géométriquement, que la seconde indicatrice est un petit cercle ( '/'), supplémentaire (•) du petit cercle ii\. On pourrait ensuite calculer, d'après cela, le rayon de torsion - (n° 325 ). Four varier, appliquons plutôt la formule de Frenet (n° 326)
da" ~ds~
nous avons, d'après (3-2 ) et (3o),
-, . d'J. SI 117.
Los V sina — = — ■
ds ~.
d ou
— i ds cos V d'x
— R sin Y cos Y
tangV.
On voit que le rayon de torsion et le rayon de courbure d'une hélice sont
i .v r, ■ i. i e i da a'
dans un rapport constant i '- |. hn appliquant la formule —j- = — > on retrou-
ds
verait de même la formule l Ji i.
liiT. Hélice circulaire. — ■ Une hélice particulièrement intéressante est YJiélice circulaire { :1 i, provenant de l'enroulement d'une droite sur un cylindre de révolution.
Voyons ce que deviennent les résultats généraux précédents dans ce cas particulier.
Prenons pour axe des j l'axe du cylindre C, pour axe des x la normale à ce cylindre au point A et un axe des y perpendiculaire à ;Ox.
Si l'on appelle / l'angle polaire du point m, nous avons <r = R/, R désignant le rayon du cylindre. Les équations paramétriques de l'hélice s'écrivent dès lors
x = Rcos/. ^=Rsin/,
kt.
(l) C'est-à-dire que les cônes de sommet O et de base ii) et (i) sont supplé-, mentaires.
(-; Pour la réciproque, cf. Exercice précité. (3) Il arrive souvent qu'on l'appelle simplement hélice.
<>KÎ
en posant
(33) k=mR.
Lorsque le point M décrit l'hélice, son déplacement suivant O; est constamment proportionnel à sa rotation autour de Oc.
Pendant un tour complet, le déplacement suivant G c est égal à 2 /. ~. Cette quantité s'appelle le pas de V hélice. Lare décrit MM est une spire.
Pour avoir l'hélice complète, il suffit évidemment d'en construire une spire particulière AA' et d'imprimer ensuite à celle spire des translations parallèles à Os et d'amplitudes égales à tous les multiples entiers du pas 1 ' ).
11 nous paraît inutile d'insister sur la forme de l'hélice circulaire. qui est celle de l'arête d'un filet de vis et, par conséquent, est bien connue de tout le monde. Il nous faut toutefois dire un mot du sens de I hélice. La constante /.' 1 qui est quelquefois appelée le pas réduit ou simplement le pas) étant supposée positive, on dit qu on a une hélice à droite, si le trièdre < >./ ) c est un trièdre à droite 1 u" ^N et une hélice à gauche dans le cas contraire.
Deux hélices de même ra\ on et de même pas. mais de sens différents ne sont pas superposables; elles sont symétriques par rapporta un plan, de même que deux trièdres trirectangles de sens opposés.
Si une hélice est à droite, un observateur couché le long de sou axe (-) voit le point M décrire l'hélice en montant, en tournant de droite et gauche. Tel est le cas d'un lire-bouchon et «le In 'dupait des vis, qui sont appelées, dans cette hypothèse, <\>- visa droite ( :I i.
(') Deux spires consécutives sont, en elle t . superposables par trans'alion. Plus généralement, <leu\ arcs quelconques MM et \V de même longueur peuvent élrc superposés par une rotation et une translation convenables. L'hélice g/isse sur ellemême, dans tout déplacement hélicoïdal de pas >/.- et d'a\e <>;. un tel déplacement étant défini comme résultant d'une rotation autour de 0-s combinée avec nue ovulation suivant 0 - ( cf. n° 366).
(-) < >n se rend compte aisément <iue le sens suivant lequel se couche l'observateur est sans importance.
(3) En artillerie, les rayures des canons dits ren es à droite sont également îles hélices à droite. Si l'on regarde l'intérieur du tube, on voit les rayures s'enfoncer en tournant de gauche à droite en passant par le haut, c'est-à due dans !«• sens deaiguilles d'une montre.
