CHAPITRE III. — COORDONNEES

de OM sur OÀ. Les trois nombres -s», 0, o sont . les coordonnées polaires de M ( ' ).

Coordonnées semi-polaires. — Un système plus employé est le suivant. Projetons M en m sur xOy. Soient o et m les coordonnées polaires de m dans xOy. Soit s la cote de M. Les trois nombres p, o). 3 sont appelés les coordonnées semi-polaires ou cylindriques du point M.

( l) Ils ne sont pas entièrement déterminés et il y aurait lieu d'établir des formules analogues aux formules (41)'- C'est ce que pourra faire le lecteur à titre d'exercice.

41. Équation d'une ligne dans le plan. — Maintenant que nous savons représenter les points par des nombres, il s'agit de voir comment on pourra représenter des assemblages de points. En Géométrie plane, le seul assemblage qui nous intéresse est la ligne. Cherchons donc de quelle manière il est possible de déterminer analytiquement une ligne donnée (C) (').

Tout d'abord, il est clair que les coordonnées, que nous supposerons d'abord cartésiennes, des différents points de cette ligne ne sauraient prendre indépendamment des valeurs arbitraires, sans quoi la ligne passerait par tous les points du plan. Elles sont nécessairement liées par une relation

et par une seule, car s'il y en avait une autre, on pourrait résoudre par rapport à x et j', et la ligne ne comprendrait qu'un nombre fini de points.

Réciproquement, considérons tous les points du plan dont les coordonnées vérifient (i). Imaginons qu'on donne à x une valeur déterminée. L'équation (i) admet un certain nombre de racines en y, soient jki, y-i, J3, • • -, auxquelles correspondent les points M,(#,jkO» M2(#, J2), M3(#, r3), • • • • Si maintenant on fait varier x de —y. à + oc, ces points se déplacent dans le plan et décrivent des arcs de

(') Dans la pratique, les lignes (et surfaces) auront toujours une définition géométrique, quand elles ne nous seront pas données analytiquement. Mais, on peut néanmoins concevoir une ligne (ou surface ), sans songer à aucun mode de définition, en imaginant un dessin de trait idéalement fin.

Les concepts de ligne et de surface peuvent donner lieu à des discussions philosophiques, dont la place n'est pas dans cet Ouvrage.

courbe. L'ensemble de tous ces arcs constitue la courbe définie par V équation (i) (').

Cette courbe (C) comprend nécessairement la ligne (C) qui nous a servi de point de départ. Elle peut ne comprendre qu'elle. Mais, il peut arriver aussi que (C) ne soit qu'une partie de (C), soit que l'équation (i) puisse se décomposer en plusieurs autres, soit qu'il y ait impossibilité de représenter la ligne proposée par une équation non soumise à des restrictions. Nous verrons des exemples de l'un et l'autre cas.

D'une façon générale, V équation (i) sera dite V équation de la ligne (C) si les coordonnées de tout point de (C) vérifient (i) et si, réciproquement, tout point dont les coordonnées vérifient (i) appartient à (C).

Ce qui vient d'être dit des coordonnées cartésiennes pourrait se répéter avec des coordonnées quelconques. Il est plus simple de remarquer qu'on passe du système cartésien à tout autre par des formules telles que

(2) x = o(x',y'), y = <Ka?',y)i

et que, si la ligne (C) est représentée par l'équation (i) dans lé premier système, elle sera représentée, dans le second, par Yéquation transformée

Remarque. — Le raisonnement fait plus haut est en défaut lorsque l'équation (i) ne renferme pas y. Dans ce cas, elle est vérifiée pour un certain nombre de valeurs #,, x2, . .., de x et quel que soit y.

(') Si la fonction f (x, y) est continue et admet des dérivées partielles du premier ordre, celte courbe répond à la notion expérimentale qu'éveille en notre esprit le mot ligne. Mais, on peut imaginer des fonctions pour lesquelles cette notion disparaît totalement. L'élude des courbes correspondantes rentre plutôt dans le domaine de la haute Analyse que dans celui de la Géométrie et nous n'en rencontrerons jamais aucun exemple.

Les arcs décrits par les points M; ne s'étendent pas nécessairement à l'infini à droite et à gauche. Ils peuvent cesser d'exister, en totalité ou en partie, en même temps que les yL correspondants, quand x pénètre dans certains intervalles.

Le nombre des racines yt et par suke des arcs constitutifs de la courbe peut quelquefois être infini. Mais cela n'arrive jamais que pour des fonctions transcendantes particulières.

I IGNES ET SURFACES i-

Or, le lieu des points dont l'abscisse a une valeur donnée est évidemment une droite parallèle à Oy. Donc, si l'équation (i) ne renferme pas y, elle représente un ensemble ou, comme on dit encore, un faisceau de droites parallèles à Oy; de même, si elle ne renferme pas x, elle représente un faisceau de droites parallèles à Ox.

i2. Lignes algébriques. — On appelle ligne algébrique toute ligne dont l'équation, en coordonnées cartésiennes, peut être obtenue en égalant éi zéro un polynôme en x et y. Le degré de ce polynôme est appelé degré de la ligne .

-Montrons que cette définition est indépendante du choix des axes.

Supposons que la fonction j \x,y) du numéro précédent soit un polynôme de degré m. Puis, prenons de nouveaux axes O'x'y'. La nouvelle équation sera de la forme [n° 32)

(4) /Oo-f- ax' -h a'y\ y^-\- bx' +- b' y' ) = o.

Le premier membre est encore un polynôme en x' ', y', dont le degré ru' ne saurait dépasser m, puisque x et y sont du premier degré en x', y' . D'autre part, m ne peut être supérieur à m', parce que le retour des nouvelles coordonnées aux anciennes se fait par des formules analogues. Dès lors, on a m' = m et, quelle que soit la manière de choisir les axes, la ligne (C) est toujours algébrique et de degré m.

43. Cette invariance du degré a. du reste, une explication géométrique fort simple, résultant du théorème suivant :

Théorème. — Toute ligne algébrique de degré m est rencontrée en m points par toute droite du plan.

En effet, en choisissant convenablement les axes. ce qui est permis, nous pouvons supposer que la droite sécante est Ox. 11 suffit dès lors de faire y = o dans l'équation (i) pour avoir l'équation aux x des points de rencontre :

Cette équation sera généralement une équation algébrique de

degré m et, comme telle, admettra m racines (t. I, n°219), auxquelles correspondront m points d'intersection.

Toutefois, il est nécessaire de faire certaines conventions pour que Ténoncé précédent soit tout à fait général.

D'abord, il peut arriver que le degré de (5) soit inférieur à m d'un certain nombre/? d'unités. Dans ce cas, on dit que p des points /le rencontre sont à l'infini. On justifie ce langage en démontrapt que si une sécante non parallèle à Ox tend vers cette droite, parmi ses points d'intersection avec la courbe, il y en a p dont la distance à l'origine croît au delà de toute limite.

En second lieu, si l'équation (5) possède une racine multiple d'ordre a, le point correspondant doit être compté a fois.

Enfin, si l'équation (5) possède des racines imaginaires, il faut compter, parmi l'intersection, les points imaginaires (n"37) correspondants.

44. Théorème. — Etant donnés deux polynômes f(x, y) et g^x^y), pour qu'en les annulant on définisse la même courbe, il faut et il suffit qu'ils soient constitués par les mêmes monômes affectés de coefficients proportionnels.

i° La condition est suffisante. — Car si elle est remplie, on a une identité de la forme

(6) g(x, y) = kf(x, y) (k = const.)

et, par suite, tout point qui annule/ annule g et réciproquement.

2° La condition est nécessaire. — Si les équations f= oetg = o représentent la même courbe (C), elles doivent avoir les mêmes racines en x pour toute valeur numérique attribuée à y, puisque ces racines sont les abscisses des points de rencontre de (C) avec la parallèle à Ox qui constitue le lieu des points du plan d'ordonnée y. Par suite, les polynômes f et g, considérés comme des polynômes en #, doivent avoir leurs coefficients proportionnels (t. I, n° 205). Autrement dit, on doit avoir une identité de la forme (6), où / désigne, jusqu'à présent, une constante relativement à .r, c'est-à-dire une fonction de la seule variable y. Mais, le même raisonnement répété en échangeant les rôles des deux axes nous prouve que /. ne doit dépendre que dex.

LIGNES ET SURFACES. ■ i<>

Ces deux conditions ne peuvent être simultanément réalisées que si A:

est une constante absolue, auquel cas les polynômes jouissent bien des propriétés qu'indique l'énoncé (t. I, n° 200 bis).

En coordonnées homogènes (n" 39), l'équation ( i) s'écril

ou, en désignant par F(X, Y, T) le polynôme obtenu en rendanty*(ic, y) homogène,

Une courbe non algébrique est dite transcendante. Quelles que soient les transformations qu'on fasse subir à son équation cartésienne, il est impossible de la mettre sous la forme (i), où J(x, }') désignerait un polynôme.

45. Equations paramétriques d'une ligne. — ■ Un autre mode de représentation, souvent plus commode que le précédent, est celui de la représentation paramétrique.

A chaque point M de la courbe on fait correspondre un nombre t, qui est dit son paramètre (' ). On choisit généralement le mode de correspondance de telle manière que, lorsque / varie dans un certain intervalle (£0, £,), le point M décrit la courbe entière ou bien l'arc qu'on veut se borner à étudier. En outre, une variation continue de t entraîne un déplacement continu de M, sauf peut-être pour certaines valeurs particulières. Enfin, dans les applications, le paramètre a très souvent une signification géométrique simple et intéressante, telle que : abscisse curviligne du point, angle polaire de la tangente ou de la normale, etc. (2).

Le mode de correspondance entre M et t étant choisi, il est clair que les coordonnées de M sont des fonctions déterminées de £, soit

(l) Ce paramètre est, en somme, la coordonnée du point M sur la courbe.

(J) On peut aussi parfois prendre x (ou/) pour paramètre. On est alors conduit à une équation de la forme y—fix) [ou x = /(y)], qui rentre aussi, si l'on veut, dans la forme (i).

Haag. — Cours, II. 4

5o CHAPITRK IV.

On dit que les équations (,j) constituent un système d'équations paramétriques de la courbe (').

Une courbe étant donnée, il existe une infinité de manières de la représenter paramétrique ment, qui toutes se déduisent de Tune d'elles par un changement de variable sur le paramètre

Si la courbe est définie par l'équation (i), on peut imaginer qu'on choisisse arbitrairement la fonction x =f{t\. En portant dans (i) et résolvant par rapport à y, on obtient g(t).

Plus généralement, on peut poser é

(8) ei^y) = t,

g désignant une fonction quelconque de x et r, puis résoudre le système (i), (8) par rapport à x et à y.

Réciproquement, donnons-nous, de manière quelconque, les équations (-). A. chaque valeur de t correspond un point M. Si nous faisons varier 7, M décrira une ligne, qui sera donc définie par les équations paramétriques (-). Dans ce cas, la signification géométrique du paramètre pourra être plus ou moins simple.

Si l'on veut avoir l'équation de la courbe, au sens du n° 41, ou, comme nous dirons quelquefois, son équation implicite, il suffit d'éliminer t entre les équations paramétriques (n° 58).

46. Intrrsectiojn de deux courbes. — Il est toujours aisé, théoriquement du moins, de calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes définies analytiquement.

I. Les deux courbes sont définies par leurs équations implicites. — Soit à trouver l'intersection de la courbe (i) avec la courbe

Il suffit de résoudre le système (i), (9) par rapport à x et y. A chaque solution (a?, y j correspond un point d'intersection.

Si les courbes sont algébriques et de degrés respectifs m et p,

( ' ) Quand on change d'axes de coordonnées, il faul calculer les nouvelles coordonnées en fonctions des anciennes pour avoir les nouvelles équations paramétriques.

le nombre de leurs points fie rencontre est mp. Cela résulte en effel du théorème rie BezouK t. I, n°238), à condition de compter les points à l'infini el les points imaginaires, et de tenir compte des ordres de

multiplicité des solutions.

II. Les deux courbes sont définies par leurs équations paramétriques. — Soit à trouver l'intersection de la courbe (7) avec la courbe

A tout point de rencontre correspondent une valeur pour t et une valeur pour 0 telles que

(li) /(<) = <p(0), g{t)= t

Réciproquement, si (f, 9) désigne une solution du système (1 1), en portant, soit la valeur de t dans (7), soit la valeur de H dans (10), on aura les coordonnées d'un point d intersection.

III. Les courbes sont définies, l'une par son équation implicite. V autre par ses équations paramétriques. — Soit à trouver l'intersection des courbes (1) et (7). Les t des points de rencontre sont donnés par l'équation

47. Equation d'une surface. — Dans l'espace, deux assemblages de points vont nous intéresser : la surface et la ligne.

Les coordonnées cartésiennes .r, y, z des différents points d'une surface donnée 1 S | ne sauraient prendre des valeurs indépendamment arbitraires et sont liées nécessairement par une relation

03) f(*iy,*) = o,

et par une seule, car. s'il y en avait une autre, on ne pourrait pas choisir arbitrairement les valeurs de x et y, par exemple, ce qui doit, au contraire, être possible (-*).

(l) Cela revient à dire que toute parallèle à Oz rencontre la surface. Cela est vrai (du moins tant que la parallèle reste dans certaines régions) si la surface n'est pas un cylindre de génératrices parallèles à 0;. Mais, dans ce cas. il suffit de remplacer x et y par x et z ou bien par y et z. puisque aucune surface ne peut être à la fois un cylindre parallèle à Oz, un cylindre parallèle à Oy et un cylindre parallèle à Ox.

Réciproquement, considérons tous les points de l'espace dont les coordonnées vérifient (i3). Ceux de ces pqints qui sont dans le plan a?0'r, parallèle à xOy et lieu des points de cote h = OC ^constituent une courbe (C«) définie, par rapport aux axes O' x et O'y, par l'équation

Si h varie, cette courbe engendre une surface, qui comprend certainement la surface (S), mais peut aussi, dans certains cas, en comprendre une ou plusieurs autres.

D'une façon générale, V équation (i3) sera dite l'équation de la surface (S) si les coordonnées de tout point de (S) vérifient (i3) et si, réciproquement, tout point dont les coordonnées vérifient (i3) appartient à (S).

Par un changement de variables, on aura l'équation de la surface dans n'importe quel système de coordonnées {cf. n° 41).

Remarque. — Le raisonnement ci-dessus est en défaut quand la fonction f ne dépend que de z. Dans ce cas, l'équation (i3) représente un faisceau de plans parallèles à xOy (cf. n° il).

Signalons, à ce propos, un autre cas particulier : celui où f dépend seulement de deux variables, par exemple x et y. Pour qu'un poini M appartienne à la surface, il faut et il suffit que la parallèle menée par ce point àO; perce le plan des xy en un point m situé sur la courbe (C) de ce plan qui a pour équation /' = o, relativement aux axes Oxy. La surface est donc un cylindre de base (C) et de génératrices parallèles à Oz.

48. Surfaces algébriques. — On appelle surface algébrique toute surface dont l'équation cartésienne peut être obtenue en annulant un polynôme en x, y, z. Le degré de ce polynôme est appelé degré de la surface.

On montrerait, comme aux nos 42 et 43, que cette définition est indépendante du choix des axes et que le degré est égal au nombre de points d'intersection de la surface avec une droite quelconque, à condition de compter les points imaginaires et à l'infini et de tenir compte des ordres de multiplicité.

Théorème. — Toute section plane d'une surface algébrique de degré m est une ligne algébrique de degré m.

Il suffît, pour le voir, de prendre le plan sécanl pour plan des xy.

Accidentellement, le degré peut s'abaisser de /> unités. On convient alors de compter la droite de l'infini (n" 8(>) du plan sécant comme droite multiple d'ordre p dans la section, ci; qui se justifie par des considérations analogues à celles du n° \"2.

Théorème. — Étant donnés deux polynômes /(oc, y, z) et g(x, y, z), pour qu'on définisse la même surface en les annulant, il faut et il suffit qu'ils soient constitués par les mêmes monômes affectés de coefficients proportionnels.

i° La condition est suffisante. — Car, si elle est remplie, on a une identité de la forme

(i5) g(.v, y, z) = kf(x, y, z) (Ar=const.)

et, par suite, tout point qui annule / annule g et réciproquement.

2" La condition est nécessaire. — Si les équations f== o, g = o représentent la même surface, elles doivent avoir les mêmes racines en 3 pour tout groupe de valeurs numériques attribuées à x et y. On en conclut une identité de la forme (i5), où k ne dépend pas de z. Mais, pour des raisons analogues, k ne dépend pas de x, ni dey. C'est donc une constante absolue; d'où, etc. (c/. n° Ai).

En coordonnées homogènes, l'équation (i3) s'écrit

F étant le polvnome / rendu homogène. Toute surface non algébrique est dite transcendante.

il). Equations paramétriques d'une surface. - Les surfaces sont aussi susceptibles de représentation paramétrique.

V chaque point M de (S) on fait correspondre deux paramètres u et e, dont la connaissance fixe réciproquement la position du point sur la surface et qui sont appelés les paramètres ou les coordonnées curvilignes du point sur la surface ( cf n" 20). Dans les applications, ils ont souvent une signification géométrique simple. Au contraire,

54 CHAPITRK IV.

quand on étudie les propriétés générales des surfaces, on ne se préoccupe presque jamais de les interpréter.

Le mode de correspondance entre M et (u, c) étant choisi, on peut calculer les coordonnées de M en fonction de u et t>, soit

On obtient, de la sorte, un système adéquations paramétriques de la surface.

Toute équation en u, v définit une courbe (G) tracée sur lasurface. Si l'on exprime u et c en fonction d'un paramètre £, on obtient les équations paramétriques de (C) sur (S). En portant ces expressions de u et p dans (16), on a a?, y, g en fonction de t, c'est-à-dire les équations paramétriques de (C) dans l'espace (n° 53).

On peut déduire les équations (16) de l'équation (i3) en choisissant arbitrairement x et y en fonction de a, v et résolvant par rapport às(') (cf. n° 45). Réciproquement, connaissant (16), on aura (i3) par élimination de u, v (n° 63 >.

00. Détermination d'une ligne dans l'espace. — Une ligne de l'espace peut être définie, de deux manières : par l'intersection de deux surfaces ou par le déplacement d'un point. De là résultent deux modes de représentation analytique.

1. La ligne est donnée par V intersection de deux surjaces. — Soit la ligne (G), intersection des surfaces (S) et (S') d'équations cartésiennes respectives

d; f(x,jr,z)=j>1 ff(x, y, z) = o.

Il est clair que les équation- (17) déterminent complètement la courbe, à condition toutefois que celle-ci soit l'intersection., complète des deux surfaces, c'est-à-dire que (S) et (S') n'aient aucun point commun en dehors de (C). S'il en est ainsi, les. équations (17) sont dites les équations de la ligne.

La courbe (C) étant donnée, il existe une grande indétermination dans le choix de ses équations, résultant de ce fait qu'on peut toujours

(') Si l'on prend x =u, y = v, on a une équation de ,'la forme z = /< x, y), qui rentre, si l'on veut, dans le type ( i3).

LIGNES 1.1 H BPACB8. > >

imaginer une infinité de surfaces se coupant suivant cette courbe. M;iis. répétons-le encore ifne fois, il faut toujours bien prendre garde

que les deux sur/aces choisies se coupent suivant (C) et suivant (G) seulement.

En particulier, si La ligne a été définie par les équations ( 1 7 . on esl toujours en droit de remplacer ces dernières par deux de leurs combinaisons linéaires linéairement indépendantes, soit

(18) X/-+- \>.g = o, X/-i- \ïg = ... i ;,:>: - >.' ;J. r- 0 .

Car ces équations entraînent (17). comme elles sont entraînées par

elles.

51. Cylindres projetants. Parmi les surfaces passant par (G),

il \ <-n a qui sont particulièrement intéressantes quand on veut se représenter la forme de la courbe dans l'espace. Ce sont les cylindres s'appujanl sur (G) et de génératrices parallèles ;iux axes de coordonnées. Les hases de ces cylindres sur les plans de coordonnées sont hjs projections [') de la courbe sur ces plans.

Cherchons comment on peut obtenir l'équation du cylindre projetant la courbe sur xOy. Cette équation ne doit renfermer que x et r. et peut être considéré comme l'équation de la projection (c) relativement aux axes O xy (n" 47). Or, soit m(x' , y' ) un point quelconque de (c). La parallèle à O;, menée par m, rencontre (C) en au moins un point M | fig. g). Or, tous les points de cette parallèle ont des coordonnées de la forme (x', y', z). Il suit de là que les équations en c

ont au moins une racine commune, à savoir la cote de M.

Réciproquement, si les équations (;o,) ont une racine commune en g, cela veut dire que la parallèle à O;, menée par m\ ./ . y 1, rencontre (C) et, par suite, que ni se trouve sur < c 1.

En définitive, pour que ///./. 1 appartienne à (c), il faut et il suffit que les équations (ig) aient au moins nue racine commune en z. On aura donc l'équation de (c) ou du cylindre projetant sur xOy en éliminant z entre les deux équations de (C) (t. I, n" 231 ).

(') Ces projections ne sont orthogonales qu'en coordonnées rectangulaires.

56 CIIVPITRE IV.

C'esl là une règle <ju'i! importe de retenir. On a des règles analogues pour les projections sur )(): et ;0;.

Les équations des cylindres projetants étant plus simples que les équations (17), comme renfermant chacune une coordonnée de moins, on peut être tenté de substituer deux d'entre elles aux deux équations proposées. Mais, c'est en général illégitime.

En effet, considérons, par exemple, les cylindres (c) et'(c') projetant (C) sur Oxy et Oyz (Jig. 9). Ils se coupent évidemment sui-

vant (C). Mais, ils peuvent avoir d'autres points communs. En général, la droite m M rencontrera en effet (G) en un seul point M, tandis qu'elle rencontrera le cylindre (c') en un ou plusieurs autres points, tels que N.

La courbe représentée par les équations de deux cylindres projetants est donc plus générale que la proposée.

De même, il n'est permis de substituer l'équation d'un cylindre projetant à V une des équations (17), qu'après s'être assuré qu'on n'introduit pas une courbe nouvelle. Dans le cas particulier où l'équation non remplacée représente une surface qui n'est jamais rencontrée qu'en un seul point P par chaque génératrice du cylindre, la substitution est toujours légitime, car le point P coïncide nécessairement avec le point M de (C).

o!2. Lignes algébriques. — Une ligne de Vespace est algébrique si l'on peut faire passer par elles deux sur/aces algébriques.

Si les fonctions y et g des équations (17) sont des polynômes, la ligne (C) est donc algébrique.

Théorème., — Les projections (rime ligne algébrique sont algébriques et réciproquement. — Car l'élimination de z, par exemple, entre les équations (17), conduit à une équation algébrique en x ci r, si /'et » sont des polynômes (t. I, n° 233). La propriété subsiste d'ailleurs quand (G) n'est qu'une partie de l'intersection des surfaces 1 1 - 1, car sa projection est une partie de la projection de l'intersection complète, laquelle projection ne peut se décomposer qu'en des courbes algébriques.

La réciproque est une conséquence évidente de la définition de l'algébricité.

On appelle degré d'une courbe algébrique de V espace le nombre de ses points de rencontre avec un plan quelconque. Cette définition concorde avec celle du n° 43, dans le cas d'une courbe plane.

Tiiéobème. — Deux surfaces algébriques de degrés m et p ont pour intersection complète une courbe algébrique de degré mp.

En effet, soit (G) l'intersection complète de la surface (S) de degré m avec la surface (S') de degré p. Coupons par un plan P quelconque. Nous obtenons, dans (S), une ligne plane de degré m et, dans (S'), une ligne plane de degré p (n° 48). Ces deux lignes se coupent en mp points, qui sont manifestement les points de rencontre de P et de (C). Le théorème est donc démontré.

Corollaire. — Toute ligne qui est intersection complète de deux surfaces algébriques et qui n'est pas plane, ne peut avoir pour degré un nombre premier.

Car ce degré est de la forme mp, aucun des nombres m et p n'étant égal à l'unité.

Si, par un moyen quelconque (n" 53), on découvre une courbe algébrique gauche de degré premier, on peut donc être assuré qu'elle ne pourra jamais être obtenue comme intersection complète de deux surfaces algébriques.

53. Equations paramétriques d'une ligne dans l'espace. — Envisageons maintenant l'hypothèse où

II. La ligne est engendrée par le déplacement d'un point. — A

chaque position M de ce point, on peut faire correspondre un paramètre /. relativement auquel on peut répéter ce qui a été dit au n" io, à propos d'une courbe plane. Les coordonnées de M sont des fonctions déterminées de / :

Les équations (20) constituent un système d'équations paramétriques de la courbe.

Lorsque celle ci est donnée par deux équations telles que (17), on peut imaginer qu'on choisisse arbitrairement J(t), puis qu'on résolve 11-) par rapport à r et z ou, plus généralement, qu'on adjoigne à 1 ) une équation telle que

En considérant seulement les deux premières équations ( 20), on a e\ idemment les équations paramétriques de ta projection sur xOy. De même pour les deux autres projections. En éliminant t. on aurait donc les équations des cylindres projetants. Nous savons (n" o! ) que deux de celles-ci ne peuvent être prises, en général, pour déiinir la courbe. Du reste, il arrive même très fréquemment qu'une ligne de l'espace donnée par des équations paramétriques n'est pas susceptible d être représentée par deux équations en x, y, z. Il en est ainsi, par exemple, des courbes unicursales de degré premier (n° o2) ('). On tourne quelquefois cette difficulté en représentant la ligne (C) par trois équations en x, y, z, définissant trois surfaces ayant en commun (C) et (C) seulement. Les trois cylindres projetants répondent souvent à la question. Mais, un tel mode de représentation est toujours .moins commode, pour l'étude de la courbe, que le mode de représentation paramétrique.

54. Intersection de lignes et surfaces pains l'espace. — Plusieurs problèmes se présentent.

(') Du moins, si Ion n'accepte que des équations algébriques en x, y, z. On pou irait peut-être imaginer des surfaces transcendantes se coupant entre elles ou coupant des surfaces algébriques suivant lesdites courbes. Mais, cela ne présente pas d'intérêt pour nous.

LIGNES ET SURFACES. ïg

I. Intersection de deux surfaces. — Si toutes deux sonl définies par leur équation implicite, on est ramené au n' 50.

Soient maintenant la surface (S ) définie par ( i 3 > et la surface (S') définie par (16). L'équation

esl l'équation de l'intersection en coordonnées '/. 1 sur la surface S in" il)). Elle peut conduire aux équations paramétriques, comme il a été expliqué au n" 'il).

Nous n'envisagerons pas l'hypothèse où les deux surfaces seraient définies par des équations paramétriques.

II. Intersection d'une ligne et d'une surface : Premier ras. — Soient la surface ' S 1 définie par (i3) et la ligne (C) définie par

Elle- se coupent ri certain nombre de points donl les coordonnées -ont obtenues en résolvant le système (i3), (23) par rapport

Il esl clair que ceci résout en même temps le problème «le l'intersection de trois surfaces données par leur- équations implicites.

Si les surfaces sont algébriques el de degrés ///. p, ■/. le nombre des' point- il intersection e>t mpq.

Deuxième cas. — Soient la surface (S) définie par (i3) et la ligne (G) définie par (20). L'équation

est l'équation aux t des points d intersection . A chaque racine /' correspond un point de rencontre dont les coordonnée- sont obtenues en remplaçant / par t' dans (20 .

Si la surface et la courbe sont algébriques, le nombre des points d' intersection est égal au produit de leurs degrés ( ' ).