III. Intersection de deux lignes : Premier ras. — Soient la

(') Nous admettons ce théorème, dont la démonstration générale ne rentre p<is dans !e cadre de cet Ouvrage. Ajoutons que, dans les applications, sa verilication e?t toujours ais

ligne (C) définie par ( i ;) et la ligne (O) définie par

Tout point commun doit vérifier à la fois (17) el 1 25). Or, nous avons là quatre équations à trois inconnues, qui seront généralement incompatibles. Donc, deux lignes prises au hasard dans l'espace ne se rencontrent pas. Cette proposition est d'ailleurs tout à fait intuitive.

Dans le eas où les lignes dépendent d'un ou plusieurs paramètres arbitraires, on peut se proposer de chercher quelle relation doit exister "entre ces paramètres pour qu'il y ait rencontre. La réponse est immédiate : il suffit d'exprimer que le système (17), (23) est compatible, c'est-à-dire d'éliminer x, y, z entre les équations des deux courbes. Nous aurons souvent à résoudre ce problème.

Lorsque les deux lignes sont les intersections complètes de deux surfaces par une même troisième, elles se rencontrent aux points communs aux trois surfaces.

Deuxième cas. — Soient la ligne (C) définie par (1- ) et la ligne (C) définie par (20). Pour qu'il y ait rencontre, il faut et il suffit que les équations

(*6) flf(t), g{ih Ht)] = o, g[f{t), g(t),h(t)] = o

soient compatibles en /.Toute solution commune, substituée dans (2o)j donnera un point de remontre.

Troisième cas. — Soient la ligne (C) définie par (20) et la ligne (C) définie par

(27) *=/i(6), y = ffl(0). z = hl(t).

Pour qu'il y ait rencontre, il faut et il suffit que les équations

'(23) /(0=/i(e), *(.*) = tfi(O), h(t)=h1(B)

soient compatibles en t. 9.

00. Lignes et sukfaces imaginaires. — De même qu'il y a intérêt à introduire des points imaginaires (n° 37), il esl utile de considérer des lignes et des sur/aces imaginaires. Celles-ci peuvent se présenter de deux manières.

LIGNES ET SURFACES. t) I

Premier cas. — Leur équation ou leurs équations n'ont que des coefficients (r) réels, mais ne sont vérifiées par les coordonnées d'aucun point réel. Dans ce cas, les points imaginai/es de la ligne ou de la surface sont deux à deux conjugués. En effet, soit, par exemple, la surface (i3) où Ton suppose que / est un polynôme à coefficients réels (-). Si l'on substitue, dans/; les coordonnées de deux points imaginaires conjugués, on obtient des résultats imaginaires conjugués (t. 1, n° 30, remarque II). L'un de ces résultats ne peut être nul sans que l'autre le soit. Donc un des points donnés ne peut être sur la surface sans que l'autre s'y trouve également.

Deuxième cas. — L'équation ou les équations ont des coefficients imaginaires. S'il s'agit encore d'une surface algébrique, pour fixer les idées, on aura une équation de la forme

les polynômes P et Q avant leurs coefficients réels.

Pour qu'un point réel soit sur la surface, il faut et il suffit que ses coordonnées annulent P et Q. Donc, les seuls points réels qui puissent être sur la surface sont les points réels de la courbe (3)

L'équation conjuguée de (29), (3i) P( a", jk, z) — iQ(x, y, z) = o.

représente fa surface imaginaire conjuguée de la précédente. Elle a évidemment les mêmes points réels. Ses points imaginaires sont les conjuguée de ceux de ('291), car si l'on substitue dans P-f-ï'Q et P — /Q des coordonnées imaginaires conjuguées, on obtient des résultats conjugués (t. I, n° 30, remarque II), donc nuls en même temps.

(1) Nous nous bornons aux lignes et surfaces algébriques.

(2) La démonstration est évidemment valable quand bien même la surface aurait des points réels.

(3) De même, dans le plan, une ligne imaginaire au sens actuellement envisagé. ne peut avoir qu'un nombre fini de points réels. Une ligne imaginaire de l'espace n'en aura généralement aucun.

56. Interprétation des inégalités. — La Géométrie analytique permet d'interpréter simplement les inégalités à deux et à trois inconnues.