I. Inégalité à deux inconnues. — Soit (3?) f(x,y)>o

Nous allons chercher dans quelle région du plan doit se trouver un point M pour que ses coordonnées cartésiennes vérifient V inégalité.

A cet effet, construisons la courbe (G) représentée par l'équation

Elle partage le plan en un certain nombre de régions, telles qu'on puisse joindre deux points quelconques P et P' de chacune d'elles par un trait continu ne traversant pas (C); et qu'on ne puisse, au contraire, passer de Tune à l'autre sans traverser (C). Je dis que tous les points d'une même région (R) donnent le même signe à f. En effet, admettons que les deux points P et P' donnent des signes différents. Joignons-les par un trait continu ne rencontrant pas (G). Si le point M va de P à P' en suivant ce trait, ses coordonnées sont des fonctions continues d'un paramètre t, qui part d'une certaine valeur t0 et arrive à une certaine valeur £,. Si l'on suppose que J (x, y) soit, en outre, une fonction continue de x, y dans toute la région (R), ce qui arrivera toujours si c'est un polynôme (t. I, n° 136), seul cas que nous avons à rencontrer dans la pratique, f deviendra, de la sorte, une fonction continue de t. Cette fonction, prenant des signes différents pour t = t0 et pour / == £,, devrait s'annuler entre t0 et /, (t. I, n° 59, théorème II), c'est-à-dire en un point du trait PMP'. Mais ceci n'est pas possible puisque ce trait ne rencontre pas (C).

Deux régions sont dites voisines si l'on peut passer de l'une à l'autre en traversant une seule fois la ligne (G) et en un point simple (n° 198). Elles donnent à f fies signes différents, car lorsqu'on traverse (G), f s'annule en changeant de signe.

Cela posé, prenons arbitrairement, dans le plan, un point M0, qui ne soit pas sur (G). Cherchons le signe de /(#<>, y0). Si nous trouvons -f-, la région qui comprend M0 sera dite positive ou possible. Les régions voisines seront négatives ou impossibles. En passant,

de proche en proche, d'une région aux régions voisines, il est clair

qu'on arrivera à distinguer toutes les régions possibles des régions impossibles, ee qui résout le problème que nous nous étions posé.

Remarque. — On choisit, autant que possible, le point M0 de manière que ses coordonnées soient simples et donnent ày„ un signe facile à déterminer. On prend souvent, par exemple, l'origine ou bien un point à l'infini sur l'un des axes.