Théorème. — Etant données deux courbes algébriques

on obtient l'équation du faisceau des droites joignant V origine à leurs points d' intersection en éliminant la variable d'homogénéité entre leurs équations.

Rendons les équations (5i) homogènes :

(ùi) *(X. Y,Ti=o. W(X, Y. T) = o.

Tout point P commua aux deux courbes, qu'il soit nu non à distance finie, a des coordonnées homogènes qui vérifient à la fois les deux équations (.52) en T et annulent par suite leur résultant R(X. Vi. Tout point M de la droite OP a maintenant des coordonnées ordinaires x, y qu'on peut prendre égales à X, Y, puisque V 1 sont définies à un facteur près, et vérifiant, en conséquence, 1 équation

(54) K(ar,.y) = o.

Réciproquement, si un point M vérifie (54), les équations (5a), où Ton remplacerait \, \ par X,y, ont au moins une racine commune en T, soit T, ('). Mais alors le point P de coordonnées homogènes ( x, r, T,) appartient à l'intersection. Or, le point M se trouve sur OP.

On voit finalement que. pour qu'un point M appartienne à l'une des droites OP, il faut et il suffit que ses coordonnées satisfassent à l'équation | 5 î >. ( lette équation représente donc bien le faisceau des droites ( )1\

Remarque. — D'après la démonstration précédente, Y\(x, y) est nécessairement homogène. On peut le vérifier, en ordonnant (52 suivant Les puissance.-, de T et appliquant Le théorème du poids (t. 1. n° 233). On trouve ainsi que l'équation ( 5{ > est homogène el de degré pq en appelant/- et q Les degrés des courbes proposées. Le faisceau qu'elle représente comprend donc pq droites ( n° 77). On démontre que si l'une de ces droites est multiple d'ordre a, il s'y trouve a points d'intersection. D'où il résulte que le nombre total de ces points est pq. conformément au théorème de Bezôut t n° 46).

( ' ; Si T[ = o, F est à l'infini.

79. 11 nous arrivera souvent de considérer des faisceaux de deux droites. Un tel faisceau esl représenté par une équation quadratique de la forme

\ ./-' — a B xy -+- CjJ = o .

L'équation aux coefficients angulaires est

Pour que les deux droites du faisceau soient réelles, il faut et suffit que eette équation ait des racines réelles: d'où la condition

Dans le cas de l'égalité, lc^ deux droites sonl confondues.

Pour qui' les deux droites soient perpendiculaires, il faut et suffît, en supposant les axes rectangulaires, que leurs coefficients angulaires, qui sont les racines de (5(i>, aient pour produit — i

( n" CS i. ( )r. ce produit est éga.1 à ^; d'où la condition — = — i ou