Condition pour qtte trois droites soient concourantes
Soient les trois droites
' Pi = A.tx-h Bt y ■+■ Cf= o,
Pour qu'ejles s'oient concourantes, d faut et suffit que le système ( .)<)) soit compatible en x. y ou, plus exactement et afin de ne pas éliminer le cas où, les droites étant parallèles, le point de concours serait à l'infini, que le système homogène obtenu en employant des coordonnées homogènes admette une solution non nulle. On sait
(t. 1. n" 292 i que la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est
On peut donner une autre interprétation. La. condition A = o
exprime que les trois formes linéaires I',. P2, I':, sont dépendantes (t. I, n° 2Ô6). Donc, pour que les trois droites soient concourantes, il faut et il suffit qu*on puisse trouver trois nombres a,. X2, ).:i non tous /mis tels que
(61) XtPi-t- X2Pa-H X3P3 = o.
Du reste, on peut démontrer directement cette nouvelle règle. Si la droite (P3) passe par l'intersection de ( l', i. i l'-j >. on sait ( n° 76) que son équation peut être mise sous la tonne
((>?.) . XPt-h}jiP2— o.
Mais, le> équations < 62 i et P3 = o représentant la même droite, on a une identité de la forme ( n° -44 1
XP1+fxP2= vP3,
ce qui est (6.1), aux notations près.
Inversement, si Ton a (61) avec, par exemple. X3=zéo, on peut en tirer P3 = — ^ P, - P2. D'où il résulte que ( I';) i passe par Tinter-, section «le f P,) el de I l'o >.
La condition ( (il 1 est quelquefois d'une application très commode, parée qu'on aperçoit, dès la première inspection, la combinaison linéaire à former. C'est ainsi qu'il arrive qu'en ajoutant simplement les équations on obtienne une identité.
81. Droite passant par deux i'Oints. — Soient les deux points AI,. M2. On peut d'abord définir la droite qui les joint par l'équation 1 33 ) ou par les équations paramétriques < 35 1. A oici maintenant une autre forme d'équation fréquemment employée.
Afin (pie notre raisonnement puisse convenir pour le cas où l'un des points M,, M2 irait à l'infini, employons des coordonnées homugènes. Soient ( \,. \ ,, T, > les coordonnées de M, et (X2, A2. T2 > eelles de M2. Soit, d'autre part.
(63) AX -+- BY -+- CT = o
l'équation cherchée. Les coefficients Inconnus \. B, C doivent
vérifier les relations
j AX,+ HVi- GTt=o, 64) • .
( A\> — BYa-H CT2 = o.
On pourrait en tirer des valeurs proportionnelles à V, B. C qu'on porterait ensuile dans (63). Ceci revient a éliminer les inconnues homogènes V. B. G entre les trois équations i (i.i i et (64). Or, un peut faire immédiatement cette élimination, par l'emploi d'un déterminant ( t. 1. n" 292 i :
Telle est l'équation cherchée.
Si les points M,, M2 sont à distance finie, on peut l'écrire, en divisant les première, deuxième et troisième lignes par T. T,, T2 respec-
tivemenl :
i 66 i Xi j-! i
82. Aire d in triangle. — Soit le triangle A, A2A3 défini par les coordonnées cartésiennes rectangulaires (') de ses sommets. Nous nous proposons de calculer son aire algébrique S ( t. T. n" 174), en supposant qu'on prenne comme sens positif, sur le périmètre, le sens AjÀo Va. Rappelons que S est positif ou négatif, suivant que ce sens coïncide avec le sens positif défini par les axes (t. 1. note de la page 220 i ou avec le sens opposé.
Cela posé, abaissons la hauteur A, H. Le côté A2A3 étant orienté de A2 vers A3, nous en déduirons l'orientation de la droite qui porte la hauteur par une rotation de + - autour de H (n° 65). Dès lors. nous a\i>n<. en grandeur et en si^n'e.
67) a s = a2a3x ÏTÂ7.
car il est manifeste (pie S et HA, onl toujours le même si^ne.
Or. soit -^ l'angle polaire de la hauteur orientée. Celui de A2A3
est z — — • En projetanl A., A3 sur les axes, nous avons l cc:i— ,/j = \2 A3COS ( ç — - j = \2 \3 siii . .
Xs— y%= A2A3sin (<P — - ) =— V2A3cos<p.
(') Pour les axes obliques, voir Ni. n" 129.
D'autre pari, soii
(69) D 1 arcoso ■+- y sincp — /> = o
L'équation de A2 V:! sous la forme normale. Nous savons que 1 on ;
1 11" Go i
(70) HA, = X\ COSçp-l- J'i s in ç — p.
Mais l'équation de A2A3 peut encore s'écrire (11" 81)
^3 yz 1
En comparant les coefficients de x dans ((io/i cl (71), on voit que D' n — y3
13e sorte que si
Xy J'i I
Xi y, 1
A = {Xi co?-.p — y\ si" 9 — /> )• A2A3 = 11 A 1. A3 A3 = 2 S.
Nous avons donc finalement la formule
Xi y, I
** yz 1
Remarque. - Si l'on échange deux des indices, le sens positif du périmètre est change, donc aussi le signe de S. Mais il en est bien de même du signe de A, car on a échangé deux lignes de ce déterminant (t. I. n'278).
LE PLAN ET LA DROITE DANS l'eSPACE.
