I. — HOMOGÉNÉITÉ

1. Eu Géométrie, surtout en Géométrie analytique, il y a constamment lieu d'introduire les mesures de certaines grandeurs ( lignes, surfaces ou volumes), entre lesquelles on établit des relations. Cela suppose nécessairement l'existence d'une unité de longueur, d'où dérivent, comme on sait, les unités de surface et de volume.

Dans les applications numériques, celte unité est généralement fixée | mètre, centimètre, etc.); ou bien, on se la fixe soi-même par un certain segment tracé sur la figure.

Dans les questions théoriques, au contraire, on ne s'occupe généralement pas du choix de l'unité de longueur et les équations sont établies indépendamment de ce choix. C'csl alors qu'il y a lieu d'appliquer le principe de V homogénéité.

2. Rappelons d'abord un théorème évident d'Arithmétique : Si,

(') Ce Chapitre n'est pas indispensable pour la compréhension des Chapitres suivants. Néanmoins, le lecteur fera bien d'avoir constamment présent à l'esprit le principe de L'homogénéité, qui donne lieu à d'utiles vérifications dans les calculs de Géométrie analytique.

IIa.u;. — Cour.';, II. i

//<<///■ mesurer une même grandeur, on prend successivement deux

imites différentes l et l . de rapport -r-, = /. , les deux mesures

correspondantes m et m sont dans le rapport inverse — , = y-

Cela posé, imaginons qu'entre les mesures de différentes longueurs d'une même figure on ait établi une certaine relation, indépendamment de tout choix d'unité. D'après le théorème ci-dessus, ces mesures ne sont définies qu'à un facteur arbitraire près; puisque, si l'on vient ;i changer d'unité (ce qui est permis, parce que celle-ci n'est j)a- fixée), toutes les mesures sont multipliées par le même nombre. Ces dernières sont dès lors nécessairement représentées par des lettres a. A. c /, qu'on est en droit de faire varier proportionnellement autant qu'on le veut. Il suit de là que la relation établie

ne doit pas changer quand on multiplie toutes les lettres a, b, ... par un même facteur arbitraire. C'est ce qu'on exprime en disant que la relation est homogène.

En théorie, il ne s'ensuit pas nécessairement que la fonction f soit homogène (t. I, n" 133) ('). En pratique, cela a toujours lieu.

3. Si. dans une question, les données ne sont pas homogènes, ce cjui arrive, en particulier, si certaines sont purement numériques, cela implique le choix d'une unité de longueur.

Mais, si, parlant de données homogènes, on se trouve, ci un certain moment, en présence ci une équation non homogène, il faut en conclure qu'on s'est trompé. 11 est donc utile, dans ces conditions, de faire souvent des vérifications d'homogénéité. Une faute d'homogénéité es'l toujours considérée comme une faute grossière, sautant aux veux et qu'on ne doit jamais laisser passer.

Remarques. - I. Il esta peine besoin de faire remarquer que;

t1) La fonction / pourrait, par exemple, être une somme de fonctions homogènes nulles séparément.