I. — VECTEURS LIBRES

99. Généralités. — Nous avons défini d'une façon précise, au n' S. le sens qu'il faut attribuer au mot vecteur.

On peut imaginer des vecteurs distribués d'une manière quelconque dans l'espace.

Deux vecteurs sont dits équipollents lorsqu'ils ont même longueur, même direction et même sens, ce qui équivaut à dire qu'on peut passer de l'un à l'autre par une translation. Ils sont dits opposés, lorsqu'ils ont. même longueur et même direction, mais des sens opposés.

Dans ce paragraphe, nous ne distinguerons pas deux vecteurs équipollents. L'origine de chaque vecteur sera laissée entièrement libre. D'où le nom de vecteurs libres que nous donnerons aux vecteurs envisagés de ce point de vue.

Nous conviendrons d'exprimer que deux vecteurs sont équipollents par le symbole

que nous appellerons une égalité géométrique.

100. Nous avons défini, au n" 1G, la projection d'un vecteur sur un axe, parallèlement à un plan donné. Nous avons vu que deux vecteurs équipollents avaient même projection.

' On peut déterminer un vecteur libre pur ses projections sur trois axes non parallèles à un même plan.

Soient, en effet, les trois axes ()x. ( ) r. 0,3, qu'on peut toujours supposer issus du même point et qui forment alors un trièdre de

coordonnées. Étant donné un vecteur ,\ . projetons-le sur O.r parai-

lèlemenl à rO;, sur Qy parallèlement à zOx el sur Oc parallèlement àxOv- Les projections obtenues \, \ . Z peuvent rire consi-.

dérées comme les coordonnées du point M tel que ( >M = Y et que nous appellerons point représentatif du recteur. Il en* résulte que

le vecteur V est entièrement déterminé, en tant que vecteur libre, par les trois nombres X., Y, /.. qui seront appelés, pour cette raison, ses coordonnées.

A.u lieu de projeter V sur chaque axe parallèlement au plan de coordonnées opposé, on pourrait, moyennant certaines restrictions, le projeter parallèlement à un plan quelconque attaché à cet axe. Contentons-nous d'examiner le cas des projections orthogonales. Si ;, r,, Z désignent ces projections, elles

déterminent, elles aussi, le vecteur V. Car, les connaissant, nous portons OA = ; sur Ox, UB = rt sur Oy, OC = Z sur O z ; puis, nous menons par A un plan perpendiculaire à Ox. par }> un plan perpendiculaire' à Oy, par C un plan perpendiculaire à O*. Ces trois plans se coupent en un seul point M, qui

est le point représentatif de V.

Une conséquence évidente de ces propriétés est que toute égalité géométrique équivaut à trois égalités algébriques distinctes, obtenues par projection sur trois axes quelconques non parallèles éi. un même plan, les projections pouvant être obliques ou orthogonales, comme il vient d'être expliqué.

Le produit d' un recteur \ par un nombre m est un vecteur V

parallèle à V, de longueur égale à celle de Y multipliée par | m | et de même sens ou de sens contraire, suivant que m est positif ou négatif.- Nous écrirons l'égalité géométrique

qui équivaut aux trois égalités algébriques ( n" 16 i (3) X'= mX, Y'=:mY, Z'= m'A.

Dans le cas particulier où m = — i. on retrouve les vecteurs opposés ( n" 8) et Ton écrit