Addition géométrique. — Soient plusieurs vecteurs

Menons, parmi point quelconque O, le vecteur ( >AI, ^= A ,. Puis,

par M, , menons M, M2 = V2 ; par M2, M2M3 = ^ :!; et ainsi de suite jusqu'à épuisement de tous les vecteurs donnés. Nous obtenons un

point final M«. Par définition, le vecteur OM„ i ' | ou tout vecteur

équipollent ^ sont dits la somme géométrique des vecteurs proposés. ( le qu'un écrit

D'après le théorème des projections (n° 18), cette égalité géométrique équivaut aux trois égalités algébriques

(6) X=2X,, Y=^Y„ Z=Vz,-,

où \,. Yt-, Z, désignent les projections du secteur Y/ el \. \ . Z celles

du vecteur A .

Les formules (.6) non- prouvenl i[iie \, Y, Z sont indépendants de l'ordre dans lequel on a considéré les vecteurs. Autrement dit, on peut répéter la construction précédente en intervertissant cet ordre d'une manière quelconque; on obtient toujours le même point

final M,,, la même somme géométrique ' \ . L'addition géométrique est une opération commit tative, au même litre que l'addition algébrique.

On peut aussi, sans changer \ . remplacer plusieurs des vecteurs "\ , par leur somme géométrique. Cela équivaut à remplacer, dans (6 )? plusieurs des \,. 1 /. Z, par leurs sommés effectuées. On sait que cela ne modifie pas \. i . Z. L'addition géométrique est une opération associative, de même que l'addition algébrique,

Etant donné un vecteur \. on peut 1»' décomposer suivant les

ares i ou trois droites non parallèles à un même plan |. Si 1 on repré-

— > sente*, en effet, par X le vecteur parallèle à 0.r, qui a pour mesure

(') Le vecteur OMn esi plus particulièrement appelé la résultante du contour polygonal OM, M,... .M„.

algébrique X sur cet axe, et par Y, Z les vecteurs analogues, on a

l'égalité géométrique V = \ -+- i -+- Z, comme on le voit en projetant. Pour cette raison, X, 1 , Z sont aussi appelés les composantes

de Y suivant les axes.

102. Soustraction. — Retrancher un vecteur Y d'un vecteur Y , c'est trouver un vecteur ^ " tel que l'on ait

— ;►• Eu ajoutant aux deux membres le vecteur — Y , on a

car deux vecteurs opposés ont évidemment une somme nulle.

Retrancher un vecteur équivaut donc à ajouter le vecteur opposé. La soustraction n'est donc pas ù distinguer de l'addition.

Signalons néanmoins l'égalité

(8) MM'= ÔM'— Oftï.

déduite de ()M'=()M + MM et qui est une extension de la formule de Chasles < ' ). prise sous la forme (8 ) du n" 10.

103. On peut combiner l'addition géométrique avec la multiplication par un nombre et écrire des égalités de la forme générale

(9) \ = /«iV! — /»2V2 + . . .-+- m„ V„, ce qui équivaut à

(io) X=ym,X„ Y =2 rm Y,, Z =^mtZt.

10 i. Produit scalaire de deux vecteurs. — Soient les deux vec-

l ' | tille s'y ramène d'ailleurs immédiatement par projection sur les axes. Haag. — Cours, II. S

teurs V et \ . Si V et V désignent leurs longueurs respectives et

6 leur angle, on appelle produit scalaire de ces deux vecteurs le

nombre

(n) V.V'= VV'cosO'.

( î'èsl donc un nombre et non un vecteur.

Si l'on écrit (12) Y.V = V. V'oosO = V'.YcosO,

on voit, en vertu du théorème fondamental des projections (n° 19), que le produit scalaire est aussi égal à la longueur d'un des vecteurs multiplire par la projection orthogonale de Vautre sur lui (•).

11 en résulte immédiatement | n° 1<S) que, si V est la somme géométrique de plusieurs autres vecteurs V'1} V'2, .... \ „. le produit scalaire de A par A ' est la somme algébrique des produits scalaires de Y par X \, \\ \ 'n. Autrement dit. on a l'égalité

(i3) "v.(v^-h\^H-...-f-vt") = V.V1-^T.V2-l-...H-V.V„i

ce qu'on exprime en disant que la multiplication scalaire est une opération distrib utive .

Plus généralement, on peut développer le produit de deux sommes géométriques comme celui de deux sommes algébriques.

On pourrait utiliser ceci pour calculer \ . V, connaissant les projections \. ^ . Z et V. ^ '. Z' des deux vecteurs sur les axe>. supposés rectangulaires. Il est aussi simple de procéder directement.

Les cosinus directeurs de nos deux vecteurs sont

et

(*) On prend évidemment comme sens de l'axe de projection le sens du vecteur sur lequel on projette. Plus généralement, on peut imaginer des axes quelconques A et A'

parallèles respectivement à Y et à V. Si 0' désigne leur angle, on a V . V — V.V.cosO' = V.proj.V#A= V'.proj.VA*.

THÉORIE DES VECTEURS. I ï 5

On a donc (n° 31)

XV— YV— ///

COS'J = rrr"; »

d'où

(r4) V.V'=VV'cos6 = XX '-f- VY — ZZ'.

105. Dérivée géométrique d'un vecteur. • — Imaginons un vecteur \ . qui dépend d'une certaine variable indépendante t. D'une

façon précise, ses projections X., Y, Z sont des fonctions déterminées

de t. Nous dirons aussi que le vecteur est fonction de t.

On peut étendre à un tel vecteur la notion de dérivée. Nous allons

définir la dérivée géométrique du recteur \ en reprenant mot pour mot la définition de la dérivée d'une fonction ( t. I. n" ()(> i.

Donnons à / un accroissement algébrique quelconque Ai. Il lui

correspond un accroissement géométrique A^ pour le vecteur. Considérons le ve< teur — ( n° 100). Supposons qu'il tende vers une limite

déterminée \ quand \t tend vers zéro. Nous dirons alors que V est

la dérivée géométrique de A .

On ramène immédiatement cette notion à celle de dérivée algébrique, en observant que les projections de A\ sont A\, Aï, AZ;

11 j AV . AX AY AZ T ,. . . . .

celles de -r- sont ensuite — , -r—, -r— • Leurs limites, quand Ai* tend

-Xf At -if At l

^ i i . • . i -i • dX dX d'L

vers zéro, sont les dérivées algébriques —j-, — , —, supposées existantes. Il s'ensuit que la dérivée géométrique est un vecteur qui a pour projections les dérivées algébriques d<>s projections du vecteur proposé.

Nous emploierons, pour représenter la dérivée géométrique de V,

la notation -r- • di

Il est manifeste que la dérivée géométrique d'une somme géométrique est la somme géométrique des dérivées géométriques de chacun de ses termes.