II. — VECTEURS GLISSANTS
106. Moment d'un vecteur par rapport a un point. — Nous allons envisager maintenant un autre point de vue, dans lequel interviendront les origines des vecteurs ou, plus exactement, les droites qui les portent.
Deux vecteurs joueront le même rôle et ne devront pas être regardés comme distincts quand ils seront équipollents et portés par la même droite, qui sera appelée leur directrice. Autrement dit, on pourra, sans inconvénient, ^/a/re glisser chaque vecteur le long de sa directrice. D'où le nom de vecteurs glissants, donné aux vecteurs envisagés de ce point de vue.
On est conduit à cette notion de vecteurs glissants par la considération d'un élément fondamental, qui est le moment d un vecteur par rapport à un point.
Soient un vecteur AB et un point O {fig- n). Nous appellerons
Fig. il
moment de AB par rapport à () et nous désignerons par la nota-
tion AB, O le vecteur ( )R défini par les conditions suivantes :
i° 77 est perpendiculaire au plan ( ) VU :
2° Sa longueur est mesurée par le même nombre que le double de la surface du triangle OAB : OK = AB X OH ('•).';
(l) Cette condition détruit l'homogénéité, de sorte que le moment dépend du clmix de l'unité de longueur. Toutes les fois qu'il sera question de moment, il sera donc implicitement supposé qu'on a choisi cette unité.
3" Son sens doit être tel qu'il se trouve dans la région positive du plan OAB, supposé orienté de OA vers OB (.' ) (n° 27).,
Cette définition attire quelques remarques.
La première condition devient illusoire quand AB passe par O. Mais, cela n'a aucune importance; car, d'après 2°, le moment est alors nul. Ceci nous apprend en passant que pour que la directrice d'un vecteur passe par un point donné, il faut et il su [fit que le vecteur ait un moment nul par rapport à ce point.
La troisième condition suppose l'existence d'un trièdre de coordonnées permettant de définir la région positive de tout plan orienté, comme il a été expliqué au n° 27. En France, on choisit habituellement des axes à gauche (n° 28) et l'on dit que le sens de OK doit être tel qu'un observateur ayant les pieds en (), la tête en K et
regardant AB voie le point A à gauche du point B. Si l'on adopte cette convention, il est nécessaire, quand on lait la théorie analytique des moments, de toujours prendre des axes à gauche, de manière à avoir toujours les mêmes formules fondamentales. On évite au contraire toute difficulté et l'on concilie tous les procédés d'orientation en adoptant la convention de 3", basée sur le choix d'un trièdre de coordonnées, qui reste à la disposition du lecteur.
Si l'on fait glisser le vecteur AB sur la droite D. il est évident que le moment OK ne change pas. De là l'origine des vecteurs glissants.
107. Projections du moment si r les axes. — Ln problème fondamental est le suivant :
Connaissant les coordonnées de l'origine d'un vecteur et ses projections sur les axes, calculer les projections de son mome'nt par rapport à l'origine des coordonnées.
Comme il s'agit de propriétés métriques, nous supposerons essentiellement les axes rectangulaires.
( ') Il équivaut de dire que AB doit se trouver dans la région positive du plan KOA , orienté de OK vers OA ou de AO vers AK.
Cela posé, soienl ■< . y. z les coordonnées du point A et \, ^ . />
les projections du vecteur AB. Soienl. d'autre part, a, 3, y les eosinus directeurs de la demi-normale positive du plan < >AB, orienté de ( > V
vers 01). Le moment ( )K est dirigé suivant cette demi-normale, sur laquelle il a pour mesure algébrique 2 S, en appelant S la surface absolue du triangle OAB, qui coïncide avec sa surface algébrique. Ses projections sur les axes sont
Mais on a vu (n° 92) que Sa. Sj. S-' sont les aires algébriques des projections du triangle OAB sur jOs, z-Ox, xOy et l'on a, en observant que les coordonnées du point B sont a?-f-X, y-\-\, 3-f-Z(n°82),
L= rZ
rZ-^Y;
Ces formules très importantes seront appelées fprmules fondamentales des moments.
108. On peut en déduire immédiatement les projections du moment par rapport à un point quelconque O défini par ses coordonnées x0. y0, ;o- Si l'on transporte en effet les axes au point < ) . les nouvelles coordonnées du point V sont .r — a?0, y — y(). z — 50(n°33);
quant aux projections de AB, elles n'ont pas changé. Dès lors, les
projections de AB, O sont
io)Y = yZ-zY-(y0Z-z0Y)
(17) L'=t — O-oZ— z0Y), M'=M— (z0X— x0Z\ N'=N-(a?0Y— j0X).
Ces formules peuvent s'interpréter géométriquement d'une manière élégante. Les quantités telles que r„ / ;0\ sont, en vertu des formules (16). les projections du moment par rapport à O du vec-
teur O'C = AB. On a donc
Al;. 0 = VI5, O — O'C. 0 ou
(18) \I5, O = AB, O'-r-O'C, 0.
109. Momemt par rapport A i\ 1\E. — Prenons le [min! < )' n'importe où sur Ox\ nous avons r0=o, 30 = o. La première formule (17) nous donne alors L'= L. Donc :
Théorème. — Si Von prend le moulent d'un vecteur par rapport à un point variable sur une droite, la projection de ce moment sur cette droite est constante.
Cette projection constante ou plutôt sa mesure algébrique sur la
droite, supposée orientée, s'appelle le moment de AB par rapport à la droite. Ce moment est un nombre <■[ non plus un vecteur.
Théorème. — Pour qu'un vecteur soit dans un même plan cuec une droite donnée, il faut et il suffit que son moment par rapport à la droite soi/ /iul.
Car, pour que AB et Ox soient dans un même plan, il faut et il
suffît que l'on ait - — -> c'est-à-dire L = o.
110. Coordonnées dix vecteur. — A tout vecteuu glissant correspondent six nombres X, ^ . X. L. M, N, qui sont ses projections sur les axes et ses moments par rapport aux axes. Ces six nombres sont liés par une relation fort importante
(19) LX + MY -+- NZ = o,
que nous appellerons la relation fondamentale. ( )n l'établit en remarquant, d'après les formules ( 16), que. son premier membre est le développement d'un déterminant qui aurait deux lignes identiques à \, Y, Z.
Réciproquement, je dis qu'à tout système de nombres vérifiant (19) correspond un vecteur glissant et un seul admettant i es six nombres pour projections et moments.
En effet, les trois premiers nombres définissent le vecteur en tant que vecteur libre. Reste à trouver les coordonnées a?, y. z de son origine A. Elles doivent vérifier les équations (16). Mais ces trois équations, où x, v, s seraient regardés comme des coordonnées courantes, représentent trois plans passant par une même droite D (n° 90), car en multipliant la première par X, la seconde par \ , la troisième par Z et ajoutant, on obtient une identité, grâce à l'hypothèse (19). H J a donc une infinité de points A répondant à la question, à savoir les points de la droite D. Cette droite est d'ailleurs parallèle au vecteur. La droite parallèle menée par l'origine a, en effet, pour équations (n"9i )
yl. — sY = o, -X — arZ = o, xY — /X = o
ou
ce qui représente bien une droite parallèle au vecteur (X, Y, Z .
Il suit de là que tous les vecteurs AB cherchés ont pour directrice commune la droite D. Ils se déduisent de l'un d'eux par glissement et ne constituent qu'un seul vecteur glissant.
Les six nombres X, Y, Z, L. M, X, liés par (19), qui sont déterminés par AB et cpii le déterminent, sont appelés les six coordonnées du recteur. Ce sont des coordonnées surabondantes, en ce sens qu'elles ne sont pas indépendantes.
Remarque. — Les plans (16) auxquels il a été fait allusion tout à l'heure ne sont autres que les plans projetant D sur les plans de coordonnées. •
111. CoORDOXXÉES PLUCKÉRIE.WES D 1 NE DROITE. Ce SOnt leS COOT-
— > données d'un vecteur \ quelconque porté parla droite, soient a, [3, y,
/, m, n. Elles sont liées par la relation
De plus, elles ne sont définies qu'à un facteur près. ( )n peut toujours.
— y en effet, multiplier \ par un facteur quelconque, ce qui a manifestement pour effet de multiplier les six coordonnées par ce facteur ( ' ).
(a) Les projections le sont, d'après les équations (3). Les moments le sont ensuite, d'après les formules (16).
THEORIE DES VECTEIRS. 121
Pour cette raison, on dit que ce sont des coordonnées homogènes (cf. n«39).
Les coordonnées a, 8, Y sont les paramètres directeurs de la droite (n° 25).
Quant aux coordonnées /, m, /?, on peut les interpréter par les équations
(21) yt~ -z$ = l, zy. — x-; = /n. xi-/a = /(.
qui représentent les plans projetant la droite sur yOz, zOx. xOy
(n°ol).
Si le vecteur Y a pour longueur 1. x. [3, y sont les cosinus directeurs ; nous dirons alors que les coordonnées sont unitaires.
112. Moment d'bh vecteur par rapport a i.\e droiie donnée par ses coordonnées pll CKÉRiENNES. — Supposons que celles-ci soient unitaires, la droite D étant par cela même orientée. Soit M(x.y. s 1 un de ses points, satisfaisant par conséquent aux équations (21).
Nous devons projeter le vecteur MK= AB. M sur I) 1 n" 109). Or, les composantes de ce vecteur sont données par (17). Le moment cherché est donc
AB, h = aL'-f- p.U'— -;N '= Sa| L — j Z + *Y).
Ordonnons cette expression par rapport à \, ^ . Z, L. M, N. Le coefficient de X est y y — $>s = /. d'après (21 ). On a donc
(12.) AB, D = IX — m\ -nZ + aL- 3 M -r--;X.
Si les coordonnées de D ne sont pas unitaires, il suffit de diviser le second membre de (22 i par \ x2-r-j$2H- y3.
113. Moment relatif de deux vecteurs. — Soient les deux vecteurs
AB et A'B' de coordonnées X, Y, Z, L, M, N et X'. Y . Z', L'. M'. N'. On
appelle moment relatif de ces deux vecteurs le produit scalaire fn" 104) de l'un d'eux par le moment de l'autre par rapport à un point quelconque de la directrice du premier.
Prenons, par exemple, le produit scalaire de AB par le moment de A'B' par
rapport à un point quelconque de la directrice D de AB. En vertu des n°' 104
et 109, ce produit scalaire est égal à la mesure algébrique de AB sur la
droite D. orientée d'une manière quelconque, multipliée par le moment de \ W par rapport à D. Si l'on appelle x, $■, y, /, m, n les coordonnées pliickériennes unitaires de D et p la mesure algébrique AB, on a
(23) X=pa, Y = pp, Z = py, L = p/, M = pm, >.=?",
et (n' 11-2)
Al!'. D = /X' — mY'+ nZ'-aL'+?M'
En multipliant cette dernière expression par p et tenant compte de (23), on a le moment relatif cherché
NZ'-f-L'X + M'Y + N'Z.
D)l = LX'
Cette expression ne change pas quand on échange les deux vecteurs; donc.
on obtiendrait le même résultat en calculant le produit scalaire de A'B' par
le moment «le A 15 par rapport à un point de D'. Autrement dit, les deux vecteurs jouent des rôles symétriques dans la définition de leur moment relatif. C'est ce que met du reste très bien en évidence le théorème suivant :
Théorème. — Le moment relatif des deux vecteurs AB, A'B' est égal à six fois le volume algébrique du tétraèdre AB B'A' ou A'B'BA.
En effet, nous avons (n° 93)
en retranchant la première ligne de la seconde et la quatrième de la troisième. En développant ensuite suivant la règle de Laplace (t. I, n° 286), on retombe sur le second membre de (24)'. On peut aussi retrancher la première ligne de la quatrième et développer ensuite suivant la dernière colonne :
x —x y —y z — S X ( L' - y Z'-h .s Y' ) = XL' + YM '+.ZN'
= -SX[Y,(z'-z)-Z'(y-y)]
