III. — SYSTÈMES DE VECTEURS

1 l \. Somme géométrique et moment résultant. — Soient plusieurs

vecteurs glissants V,r>,. A2B2. .... AflBra. On dit qu'ils forment un système de vecteurs, que nous représenterons par la lettre S.

On appelle somme géométrique du système !<■ vecteur (.25) 11 = Ai Jm-i- V2B2 h., .-f- ArtBn.

On appelle moment résultant du système par rapport à un point O le vecteur

(a6) S, O = A 1 1 ï j , 0 4- A2\',,, O -+-... -+- ABB„, O.

Si \/, ^ ,, /„,, L/, M,, N"i désignènl 1rs coordonnées du vecteur A; Bj,

— y les projections de R sont

il n n x

celles de S, O sont

Le moment résultant par rapport à un point quelconque 0'(.r, y, s) a pour projection sur ( )x

ou, d'après (27) et (28),

L'= L-jZ + ^Y.

Par permutations circulaires, on a les autres projections :

(29) L'=L — yZ-hzY, M'=M-^X+.*Z, N'= N — a?Y-t-^X.

D<- même que les formules (17), les formules (29) s'interprètent par une égalité géométrique

où OR désigne la somme géométrique du système menée par le point O . Pour le voir, il suffit de projeter (3o) sur les axes, en s'appujant sur < 16); on retrouve les formules (29) résolues par rapport à L, M, N.

124 CHAPITRE YIII.

1 15. Le moment résultant par rapport à un axeD est la somme algébrique des moments A/H;. D. En vertu de la définition de ces derniers (n° 109), de la définition du moment résultant par rapport à un point et du théorème des projections, on peut dire aussi que S,D esl la projection sur D du moment résultant de S par rapport à un point quelconque de D.

Les moments résultants de S par rapport aux axes sont les quantités L, M, N définies par les formules (28).

Le moment résultant par rapport à la droite D de coordonnées plùckériennes unitaires a, ji, y, /. m, n est donné par l'application des formules (22), (27) et. (28 ) :

( 3i) STT) ±= IX -+- /wY -h nZ -+-«L -+- pM -t- 7 N.

116. Systèmes équivalents. — Deux systèmes S et S' sont dits équivalents quand ils ont même somme gé métrique et même moment résultant par rapport ci tout point de Vespace.

D'après les formules (29), il faut et il suffit, pour qu'il en soit ainsi, que les six quantités X, Y, Z, L. M, IN aient les mêmes valeurs pour les deux systèmes. Autrement dit, ces six quantités déterminent un système, à ses équhalents près. Pour cette raison, on les appelle les six coordonnées du système. On peut alors dire que pour que deux systèmes soient équivalents, il faut et il suffit qu'ils aient mêmes coordonnées.

On peut dire aussi que si les deux systèmes ont même somme géométrique, il suffit que leur moment résultant soit le même par rapport à un point particulier de l'espace (ici l'origine) pour qu'il soit aussi le même par rapport à tout point de l'espace.

Théorème de Varignon. — Si plusieurs lecteurs sont concourants, ils forment un système équivalent ci leur somme géométrique menée par leur point de concours.

En effet, le système S proposé et le système S' formé par la somme

géométrique OR. appliquée au point de concours () ont même somme géométrique et même moment résultant par rapport à O (ce moment esl nul). Cela suffit, on vient de le voir, pour qu'ils soient équivalents.

THEORIE DES VECTEURS. lli

Le vecteur OR mené par ( ) s'appelle la résultante des recteurs proposés. Remplacer plusieurs vecteurs concourants par Leur résultante s'appelle compose/' ces recteurs. On peut inversement décomposer un vecteur suivant plusieurs autres ayant la même origine que lui.