Opérations élémentaires. — Ce sont les suivantes

i" Glissement d 'un vecteur sur sa directrice.

2° Introduction ou suppression de deux recteurs opposés de même origine.

3° Composition de plusieurs recteurs concourants ou décomposition d'un vecteur en vecteurs concourants.

Toute opération élémentaire effectuée sur un système le transforme en un système équivalent. C'est évident pour la première. La seconde introduit ou supprime un vecteur nul dans la somme géométrique et aussi dans le moment résultant par rapport à un point quelconque, car il résulte immédiatement de la définition du n° 106 que deux vecteurs opposés et de même origine ont des moments opposés par rapport à tout point de l'espace. Quant à la troisième opération, elle est sans influence, en vertu de l'associativité de l'addition géométrique (n° 101) et du théorème de Varignon ( n" 116).

Réciproquement, on démontre (') que, étantdonnés deux systèmes

(') On peut donner, par exemple, la démonstration suivante :

Prouvons d'abord que tout système 1 équivalent à zéro peut être effectivement réduit à zéro par des opérations élémentaires. A cet effet, prenons trois points O, O', O" formant un triangle. (Le lecteur est prié de faire la figure.) Chaque vec-

teur A,B, de S peut être décomposé suivant A-O, A,0', A;0". On obtient, de la

sorte, des vecteurs concourants en O, O', O". En les composant, il reste les Unis

•vecteurs OY, 0'\", 0"Y". Je dis que ces vecteurs sont dans le plan OO'O". En eflVt,

la droite O'O" a un moment nul par rapport à V et Y". Mais, d'après l'hygothèse,

elle a aussi un moment nul par rapport, à S et, par suite, par rapport à V ■+■ V'-t- \ ".

Donc, Y a un moment nul par rapport à O'O" et se trouve, en conséquence, dans le

plan OO'O". De même pour V et V". Je dis maintenant que ces trois vecteurs con-

— ^ courent. En effet. Y doit avoir un moment nul par rapport au point de rencontre M

équivalents^ on peut passer de l'un à l'autre par un nombre limité d'opérations élémentaires. Il existe même une manière de présenter la théorie des vecteurs dans laquelle on donne cette condition comme définition de l'équivalence. Ce point de vue tinson origine d'une méthode d'exposition de la Statique élémentaire du corps solide, reposant sur un certain nombre d'axiomes, qui conduisent précisément aux opérations élémentaires. Nous envisagerons au contraire la Statique (t. 111) sous un jour entièrement différent, en nous appuyant sur la théorie des vecteurs telle qu'elle est exposée dans ce Chapitre.

La proposition énoncée ci-dessus concilie les deux points de vue.

118. Couples. — On appelle couple tout système de deux vecteurs opposés n'ayant pas même directrice.

Un couple a évidemment une somme géométrique nulle.

Théorème. — Un couple a même moment résultant par rapport ù tous les points de l'espace.

Cela résulte de l'égalité géométrique (3o), puisque O'R est nul. Ce moment résultant constant, considéré comme vecteur libre (n° 99), s'appelle l'axe du couple.

Pour en obtenir une construction simple, prenons le moment

•résultant par rapport à A,. 11 se réduit au moment de A2B2. C'est

donc un vecteur A, K perpendiculaire au plan du couple, de longueur

égale à la longueur commune des deux vecteurs multipliée par leur

plus courte dislance d (appelée bras de levier) et dirigé vers la

région positive du plan du couple, supposé orienté par le sens de

parcours A, B, A2B2 sur le parallélogramme V, B, A^Bo, ou bien de

A, B, vers A, A2. par exemple.

de Y et V. En transportant les trois vecteurs au point M et les composant, on obtient zéro, puisque la somme géométrique de S doit être nulle.

Cela posé, soient deux systèmes équivalents S et S'. Je veux passer de S ,i S . Appelons X le système formé par S' et les vecteurs opposés à ceux de S. Ce système est équivalent à zéro et peut être réduit effectivement à zéro par des opérations élémentaires. Par les opérations inverses, nous pouvons, en partant de zéro, constituer £ ou, en partant de S. constituer S -H S. Mais nous pouvons à présent supprimer S «t les vecteurs opposés de S. 11 nous reste finalement S .

77 existe une infinité de couples admettant un axe donné K. On obtient le plus général d'entre eux en choisissant arbitrairement le

vecteur A, B,, sous la seule condition qu'il soit perpendiculaire à K.

Le plan n mené par A,B, perpendiculairement à K est le plan du couple. Le bras de levier d est obtenu en divisant la longueur

de K par celle de A, B, . En menant dans II les deux droites paral-

lèles à A,B, et à la distance d. on sait que l'une d'elles est La direc-

trice de A2Bo. C'est d'ailleurs celle qui se trouve dans la région positive du plan K A,B|. orienté de A, K vers A,B,, puisque le trièdre A, B, AoR doit être positif.

Deux couples de même axe sont manifestement équivalents.

119. Composition des couples. — Théorème. — Tout système dont la somme géométrique est /tulle équivaut à un couple.

En effet, d'après (3oi, un tel système a même moment résultant par rapport à tous les points de l'espace. Il est donc équivalent à l'un quelconque des couples qui admettent ce moment pour axe.

Considérons, en particulier, un système constitué par plusieurs

couples d'axes respectifs Kf, K2 K„. Il a une somme géométrique nulle et un moment résultant K = K, -}- K2-|-. . ,-f- Krt par rapport à tout point de l'espace. D'après le théorème précédent, il est donc équivalent à un couple unique d'axe K. Donc :

Théorème. ■ — Tout système de roupies équivaut à un couple unique ayant pour axe la somme géométrique des axes des co up les prop osés .

Cet énoncé s'appelle la règle de composition des couples.

120. Réduction v vu vecteur et a un couple. — Théorème.- — Tout système peut être réduit à un vecteur appliqué en un point arbitrairement choisi et à un couple.

Nous entendons par là que le vecteur et le couple doivent former un système S' équivalent au système proposé S.

Choisissons donc un point quelconque M de l'espace. Le vecteur du système S' en constitue, à lui seul, la somme géométrique; c'est

donc le vecteur MR équipollent à la somme gé métrique de S. L'axe MR du couple de S' constitue, à lui seul, le moment résultant S', M. Il coïncide donc avec S, IV»

Le système S' ainsi constitué est d'ailleurs bien équivalent à S. comme ayant même somme géométrique et même moment résultant par rapport à M (n° 116).

Le vecteur MR et le couple MK(V) constituent /es éléments de réduction relatifs au point M.

121. Gomme cas particuliers, il peut arriver que MR soit nul (on

retombe alors sur le premier théorème du n" 110. ou bien que MK soit nul, pour une certaine position du point M. Dans cette dernière

circonstance, le système se réduit à un recteur unique MR. Ceci ne peut d'ailleurs arriver qu'avec des systèmes particuliers. Il faut, en effet, et il suffit que leurs coordonnées satisfassent à la relation fondamentale (19) (n° 110). Cette condition s'interprète géométriquement

de la manière suivante :

Théorème. — Pour qu'un système soit réductible à un recteur unique, il faut et il suffit que ses éléments de réduction relatifs à un point quelconque de l'espace soient rectangulaires.

En effet, on peut toujours supposer que la réduction est faite à l'origine des coordonnées. Dés lors, les paramètres directeurs

de OR sont \. 1 . Z,; ceux de OK sont L. M. ^s ; la condition (19)

apparaît alors comme la condition d'orthogonalité de OR et de OK.

122. Variation des éléments de réduction avec le point M. — Quand le point M se déplace dans l'espace le vecteur MR demeure

(') Bien entendu, ce couple est seulement déterminé par son axe et peut être construit comme il a été expliqué au n 118.

équipollent à lui-même. Mais le couple MK varie II obéil néanmoins au théorème suivant :

Théorème. — La projection de l'axe du couple de réduction sur le vecteur de réduction est constante.

Il revient au même de dire que le produit scalaire (n° lOi) des

éléments de réduction est constant, puisque MR rote équipollenl à lui-même. Or, si x, y, s sont les coordonnées de M, ce produit scalaire s'écrit, en utilisant les formules (i4) et (29),

X(L^-^Z-h*Y) + Y(M — «X+a?Z) + Z(N- a;Y-H^X)=.LX-t-MY-t-NZ.

11 est bien indépendant de la position. du point ML

On s'explique maintenant pourquoi les éléments de réduction doivent être rectangulaires quand le système équivaut à un vecteur unique ; car, en faisant la réduction en un point de ce vecteur, on obtient un couple nul, donc de projection nulle sur le vecteur. En réduisant ensuite en un point quelconque, la projection du couple doit demeurer nulle.

123. Axe central. — Cherchons où il faut faire la réduction pour avoir un couple d'axe minimum. D'après le théorème précédent. ceci arrivera si l axe du couple est dirigé suivant le vecteur.

Ecrivons, à cet effet, que les composantes L', M , IN' du premier sont proportionnelles aux composantes X, \ , Z du second. Nous avons, en utilisant les formules 1 29),

Ces deux équations sont du premier degré en x, y, z et représentent donc une droite A, sur laquelle doit se trouver le point M.

Multipliant haut et bas le premier rapport par X, le second par ^ , le troisième par Z et ajoutant terme à terme, nous obtenons un rapport égal :

,, . LX-MY + XZ

La droite A vérifie donc aussi les équations suivantes : L—fZ+-zY=MX, M—zX-hxZ = hY, X — xY + yX = h'L

Uaag. — Cours, II.

l3o tlIVI'ITiit VIII.

ou

(36) yl — sY = L— AX, zX — xZ = M — /iY, seY — yX = H—hZ.

Ses coordonnées plûekériennes sont, par suite (n° 111), i ;: ! x . y, z. l — /i X, ai — h \. N — h z.

En particulier, \. N. Z sont ses paramètres directeurs; elle est donc parallèle à la somme géométrique du système | '•).

En définitive, le lieu des points pour lesquels les éléments de réduction ont même direction est une droite parallèle à la somme géométrique du système. Cette droite s'appelle Y axe central du système. Ses équations sont (34) ou i 36 i (projections sur les plans de coordonnées i.

Si Ton fait la réduction en un point M de Taxe central, on obtient

le vecteur MR et le couple d'axe MK, dirigés tous deux suivant A. Ln vecteur et un couple semblablement disposés constituent ce qu'on

appelle un torseur. Le rapport - s'appelle le pas du torseur. Ici,

il est égal à la valeur commune des rapports (34), qui représentent les

rapports des projections de MK et de MR sur les axes. Nous axons donc

Ce rapport est constant, ce qui résultait d'ailleurs aussi du théorème du n° 122. On l'appelle le pas du système. Il est donné, en fonction des coordonnées du système, par la formule (35).

Quand on déplace M sur A. MR ne fait que glisser suivant celte

— *" droite; donc aussi Mlv, d'après (38). Le torseur de réduction subit

simplement une translation suivant A. On peut donc considérer

comme identiques les réductions aux différents points de l'axe

central.

Dans le cas particulier où le pas est nul. la réduction en un

(') On peut aussi le voir en supprimant les seconds membres de (36), de manière à obtenir la parallèle à A menée par l'origine.

THÉORIE DES VECTEURS. l3l

point de l'axe central donne un couple nul, d'après i 38 l, <l<m« un vecteur unique. On rétrouve la condition (19).