Réduction a deux vecteurs. — Théorème. Tout système

peut être réduit à deux vecteurs, dont l'un <-st porté pur une droite arbitrairement choisie^

Autrement «lit. étant donnée une droite quelconque I), on peut trouver un vecteur \ , sur D et un vecteur V^ quelque part dans

l'espace tels que le système \ (. "\ ■> soit équivalent un système S.

Soient a. 'p. y, /. />?, n les coordonnées pliickériennes unitaires de la droite D, par cela même orientée ( n" 111 1. Suit p la mesure algébrique de V, sur D. Les coordonnées de ce vecteur sont

(3g) ?*> ppi ?■;■ p^ ?mi ?n-

Celles de \ a sont, par suite.

( 4o ) X — pot, Y — pP, Z — c ■; . L — p 1. M — p m, N — p n .

<;n. en les ajoutant à celles de \ ,. on doit obtenir celles de S. Mais. pour que les expressions ( (o) puissent servir de coordonnées à un vecteur, il faut et il suffit qu'elles satisfassent à la relation fondamentale ( n» 1. qui devient ici

(4i) (X - pa )(L — p/) ■+- ( Y— pp ) ( M - p m)- < Z — pV | (N - p n) = o.

Dans cette équation, p est la seule inconnue. Ordonnons donc par rapport à p. Le coefficient de c'2 est la. -J- ni 3 — ny = o, d'après (20). Il reste l'équation du premier degré

(42) p(/X+mY + /iZ + aL+pM + 7 N ) = LX ■+■ MY — NZ.

Nous voyons que. sous la condition qu'on n ait pas

(43) IX - m Y H- «Z + La-f- M i - N 7 = ...

le problème posé est possible et admet une solution unique. 11 ne lest pas si la droite D vérifie l'équation (43) (1 I. Lue telle droite est

(') Sauf, cependant, si le second membre de (42) est nul, auquel cas il est indéterminé. Mais cette circonstance offire peu d'intérêt, car le système est alors réductible à un vecteur unique, dont la décomposition est évidente.

appelée droite exceptionnelle <»u encore droite de moment nul, car, d'après !<s formule | >i |, le moment résultant de S par rapport à D est alors nul.

12.vi. Complexe LINÉAIRE. — Les droites dont les coordonnées pliïckériennes vérifient une même relation linéaire et homogène constituent ce qu'on appelle un complexe linéaire {cf. n° 394). Comme on peut toujours regarder les coefficients de cette relation, supposée écrite dans l'ordre (43), comme les coordonnées d'un certain système de vecteurs, on voit que tout complexe linéaire est constitué pat* l'ensemble des droites exceptionnelles d'un système de vecteurs.

Cette interprétation permet d'établir aisément les principales propriétés de ces complexes.

Plan polaire. — Les droites du complexe qui passent par un point donné M

— *" sont toutes perpendiculaires au moment résultant MK. Leur lieu est donc le

plan perpendiculaire à MK mené par M. On l'appelle le plan polaire du

point M.

Pôle. — Soit à trouver les droites du complexe qui se trouvent dans un plan donné P. Prenons un point quelconque M de ce plan; son plan polaire coupe P suivant une droite D du complexe. En partant d'un autre point M', on trouverait de même une autre droite D' du complexe située dans P. Les droites D et Df se coupent en un certain point N. Le plan polaire de ce point contient D et D': il coïncide donc avec P. Par suite, les droites du plan P qui passent par "S appartiennent toutes au complexe.

Supposons qu'il y en ait une autre, D", ne passant pas par N. Je dis que toute droite D'" du plan appartient au complexe. En effet, D'" coupe D" en un point Q, dont le plan polaire contient D" et QN (d'après ce qui précède) et, par suite, se confond avec P; D", se trouvant dans ce plan polaire, appartient bien au complexe.

En définitive, ou bien les droites du complexe situées dans le plan P passent par un point fixe N, qui admet P pour plan polaire et en est appelé le pôle; ou bien toutes les droites du plan P font partie du complexe.

Cette dernière circonstance correspond d'ailleurs à un cas tout à fait particulier. Si l'on fait la réduction du système S en un point M quelconque de I',

on obtient un couple d'axe MK perpendiculaire à P et un vecteur MR nécessairement situé dans P. parce que son moment par rapport à tout autre point M' de ce plan doit être normal à P. Les éléments de réduction étant maintenant rectangulaires, on sait ( nu 121) que S est réductible à un vecteur unique. Les droites de moment nul sont tout simplement celles qui rencontrent la directrice A de ce vecteur. On dit que le complexe est spécial. Le plan P précédent n'est autre qu'un plan quelconque contenant A et l'on s'explique pourquoi toutes ses droites appartiennent au complexe.

THÉORIE DES VECTEUBS. i33

126. Droites conjuguées. — Soit une droite A quelconque 'le l'espace. Je dis que les plans polaires des différents points de cette droite passent par une même droite.

\in effet, prenons deux points particuliers Mtl MjSurA-. Leurs plan? polaires se coupent suivant une certaine droite A'. Tout point M' de V a un plan polaire contenant M' Mi et M' Ms (droites du complexe; et coïncidant. |>ar suite, avec le plan (M', A). Il en résulte que toutes les droites qui s'appuient à la fois sur A et A' font partie du complexe. Si l'on prend maintenant un point quelconque M sur A, son plan polaire contient toutes les droites passant par .M et s'appuyant sur A'; c'est donc le plan (.M. A

En définitive, on voit que les droites A et A' sont telles que les plans polaires des points de chacune d'elles passent par l'autre; ou, si l'on veut, le lieu des pôles des plans qui passent par l'une et l'autre. On dit que ce sont deux droites conjuguées par rapport au complexe.

Remarque. — Quand on réduit le système S à deux vecteurs, les directrices de ces derniers sont deux droites conjuguées, car toute droite s'appuyant sur elles est visiblement une droite de moment nul.

127. Systèmes de vecteurs parallèles. — Supposons que tous les vecteurs du système S soient parallèles à une même demi-droite ( > /.. de cosinus directeurs a\ l>. c. Soient xt. v;. :■; les coordonnées du

point A/ et m/ la mesure algébrique de A; B/ suivant O À. Les coordonnées du vecteur A/B, sont

( m; a, ntib, m,<\

( y,rn,c — z^ni/b, Ziinca — xtniiC, Xi>n,b — ypn ,-a ;

d'où l'on déduit celles du système :

f 45) X = a 2 miy Y = bl mi: Z = c S ni; :

' "j N = bZmixt—aI.nilyi.

Débarrassons-nous d'abord du cas particulier où S/?ij= <>. La somme géométrique du système est nulle; le système est équivalent à un couple.

Soit maintenant ï/>?,= m ^é o. Nous avons d'abord

( J7 ) \ = ma, Y — m l>. Z -- nie.

Puis, nous remarquons que, dans les formules < i<>>. interviennent les expressions 1/nix;, !m;y;. 2mt\s/, déjà rencontrées à propos du

1 I i CHAPITRE VIII. — THÉORIB DES VECTEURS.

centre des distances proportionnelles (n°23). Si non- appelons #, v. z les coordonnées du centre A des distances proportionnelles des points \, affectés des coefficients ////. nous avons

Portanl dans < {6), il \ ient

L = myc — mzb, M = mza — mrc, N = mxb — ni) a

ou. en tenant compte de I \~ i,

l. = j/.-cV, M = -X-.rZ, N=arY— j> X.

On retrouve les formules (16). Tl en résulte que /e système est équivalent à un vecteur unique appliqué au point A. Ce vecteur unique s'appelle la résultante des vecteurs parallèles proposés.

Son point d'application A reste fixe quand on change l'orientation commune des vecteurs et quand on les fait varier proportionnellement.

RAPPORT ANIIAIi.MOMnUK. — HOMOGRAPHIE; INVOLUTION.