MM M M M> M< M' M

Si Ion appelle £{- l'abscisse de M,, nu a, d'après la formule <l<- Chasles (n° 10) el d'après In définition du n" 3 1<S «lu Tome I,

(2) (Mj M» M, MO = {xx*Axzxi).

Dis lors, nous pouvons appliquer au l'apport anharmonique de quatre points toul ce qui a été dit, au sujet <lu rapport anharmonique de quatre nombres, dans la Noie II <ln Tome l. En particulier, on peut énoncer des théorèmes analogues aux théorèmes I el II du n" 3I(S. par le seul remplacement du mol nombre par !<• mol point .

Remarque. — Si les points M, el M2 sonl différents, lé point M., esl entièrement déterminé par la connaissance des trois points M,. M,. M, ci du rapport anharmonique /. - i M , \L M . M , |. On peut, ru effet, déduire de ce dernier, d'après (i), la valeur «lu

(') L'un des points peul très bien être .i l'inGnij j'.ir exemple,

l3G CHAPITRE IX.

rapport • Ur. on -ait qu il existe un seul point divisant un seg-

ment donné dans un rapport donné.

129. Division harmonique. — ( )n < 1 1 1 que les quatre points forment une division harmonique lorsqu'un de leurs rapports anharmoniques est égal à — i ; soit, par exemple,

auquel cas les points Ml7Mâ sont dits conjugués harmoniques par rapport aux points M,. M4. On sait d'ailleurs (t. I, n" 320 ) que la condition < 3) ne change pas quand on échange les deux points ■de chacun des deux groupes M,, Mo et M3, M4 ou bien quand on échange les deux groupes. C'est pourquoi l'on peut dire que chacun des deux segments I ') M|M2, M3M4 est divisé harmoniq uement j>ar l'autre.

La condition d'harmonie peut s écrire sous différentes formes. D'abord, de la définition même résulte immédiatement la suivante :

Mo. M 3 M, M,

Si l'on prend Al, pour origine des abscisses, la condition (<5) <*lu n° 320 (t. 1) nous donne

.M, Mo M, M, M, M,

Si l'on prend pour origine le milieu I de M, Mo. la condition ( ~) Au n" 320 nous donne

7) ÏMt= Ïm\ = Mi.ÏMi.

Cette égalité nous montre qiie le segment M3M, est tout entier ■lu même côté du point I et qu'il empiète sur le segment M, Mo, sans lui être intérieur. Cela résulte de ce que 1M3 et IM4 doivenl

<l; Et uo.i vecteurs.

RAPPORT ANHARMONIQUE. — HOMOGRAPHIE; INVOU TION. I ">;

être de même signe, leurs valeurs absolues étant l'une plus petite, l'autre plus grande que la valeur absolue de 1 \l , ou IM2.

On voit aussi que si M ,, par exemple, va à l'infini, \l:, vient en I. car IM3 tend vers zéro I ' >; el réciproquement.

Si M|. M, sont confondus, l'un des points M,. M.k se confond avec eux, l'autre demeure arbitraire. Car IMj=IM2=o; l'un

des facteurs IM3, IM., doit être nul, l'autre étant quelconque.

Lorsque les deux groupes de points sont définis chacun par nue équation du second degré donnant leurs abscisses, la condition d'harmonie est la condition 1 9) du nu 3121 (t. I 1.

130. 11 arrive fréquemment que l'on doit prendre le rapport anharmonique de quatre points situés sur une droite définie par ses équations paramétriques. Si l'on a affaire aux équations (56) du n° 95, on sait que le paramètre p n'est autre que l'abscisse du point M sur la droite considérée, convenablement orientée. On a donc

(M1M2M,MO = (ptp2p3p*).

Plus généralement, si x,y, z- se présentent sous la forme de fonctions ho nxo graphiques du paramètre t, on a

(! M , M3 M3 M4 ) = (/,/, hh).

Cela résulte du théorème fondamental du n" '.VU < t. 1) et de ce que le rapport, anharmonique de quatre points est évidemment égal au rapport anharmonique de leurs projections sur ()x, par exemple ( - ).

131. Rapport anharmonique d'c> faisceai de droites. — Imagi- % nons quatre droites concourantes et situées dans un même plan xi M.

soient Sa,, Sa2, Sa,-,. Sa.,. Supposons-les définies par l'équa-

(') On le voit tout aussi bien sur (6).

<■) Dans une telle projection, les rapports ' ' el ' ' ' sont, en effet, con-

M,M,J> M, M, serves. On |)eul aussi observe! que l'on a

(x,.r^3.r4) = (y, y,;>',.r,) = "(.•,:::i:t) = (ptPsp P '• puisque X. y. z sont fonctions linéaires île p.

lion I n 7<i )

où l'on doit donner à X quatre valeurs particulières X|, )..>, X3j a-, ('). Coupons-les par une sécante quelconque 1) et proposons-nous d'évaluer le rapport anharmonique ( M, M2 M3 M ., ).

Imaginons (pion tonne 1 équation donnant l'abscisse (2), par exemple du point de rencontre M de I) avec la droite O a représentée par | 8 i. ( >n obtiendrait une équation de la forme

x\ a -t- b\) == c -+- dl,

a. b. c. d désignant des constantes. L'abscisse de M est donc une fonction homographique de a. Dès lors, d'après le n" 130,

(9) (M1M2M3Mt) = (XiX2X3X4).

On voit que ce rapport anharmonique est indépendant de la sécante D. 11 ne dépend que du faisceau S(X( . X2, a,. a; i. On l'appelle roppmt a n harmonique de ce faisceau et on le représente parla notation Si a, X2X3 a-, i.

Si l'on prend (P) parallèle à Oy et (Q) parallèle à Ox, — X est égal au coefficient angulaire et l'on voit que le rapport anharmonique de quatre droites est égal au rapport anharmonique de leurs coefficients angulaires.

Si la sécante 1) est parallèle à S).., par exemple, le point M4 est à l'infini et l'on a i ; )

S(X1X2X3X4)=^iËl»

MâM3

(') L'une d'elles peut être infinie, si la droite correspondante coïncide avec (Q). (-) Si D était parallèle à Or, on formerait l'équation donnant l'ordonnée. (3) On peut démontrer, d'une façon élémentaire, la constance de (M, M2M,M4) en menant par M, la parallèle M,)!.' à S\ et prouvant l'égalité